1.8. Простейшие тригонометрические уравнения

$$\DeclareMathOperator{\tg}{tg} \DeclareMathOperator{\ctg}{ctg} \DeclareMathOperator{\arctg}{arctg} \DeclareMathOperator{\arcctg}{arcctg}$$

Тригонометрические уравнения $\sin x=a$ и $\cos x=a$ имеют решения только при $a\in[-1;1]$.

Тригонометрические уравнения $\tg x=a$ и $\ctg x=a$ имеют решения при любых $a$.

Решение простейших тригонометрических уравнений

Если $a\in[-1;1]$, то $\arcsin a$ - это число из отрезка $[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.

При $a\in[-1;1]$ уравнение $\sin x=a$ имеет две серии решений:

$$x=\left[
\begin{array}{l}
\arcsin a+2\pi k\\
\pi-\arcsin a+2\pi k
\end{array}
\right.,\quad k\in\mathbb{Z}$$

Если $a\in[-1;1]$, то $\arccos a$ - это число из отрезка $[0;\pi]$, косинус которого равен $a$.

При $a\in[-1;1]$ уравнение $\cos x=a$ имеет решения:

$$x=\pm\arccos a+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$

$\arctg a$ - это число из интервала $\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$, тангенс которого равен $a$.

Уравнение $\tg x=a$ имеет решения:

$$x=\arctg a+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$

$\arcctg a$ - это число из интервала $(0;\pi)$, котангенс которого равен $a$.

Уравнение $\ctg x=a$ имеет решения:

$$x=\arcctg a+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=0\Leftrightarrow x=\pi k,\; k\in\mathbb{Z}\qquad \cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\; k\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z}\qquad \cos x=1\Leftrightarrow x=2\pi k,\; k\in\mathbb{Z}$$

$$\sin x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z}\qquad \cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi+2\pi k,\; k\in\mathbb{Z}$$

Следующая глава