Сайт подготовки к экзаменам Uchus.online

#1917: Решение показательного неравенства

Условие

Решите неравенство \(9^{\sqrt{x^2-3}}+3<28\cdot3^{\sqrt{x^2-3}-1}\)

Равносильными преобразованиями приведём неравенство к виду, решаемому методом интервалов:

\(\begin{aligned}9^{\sqrt{x^2-3}}+3 &< 28\cdot 3^{\sqrt{x^2-3}-1}\\3^{2\sqrt{x^2-3}}+3 &< 28\cdot \dfrac{3^{\sqrt{x^2-3}}}{3}\\\left(3^{\sqrt{x^2-3}}\right)^2+3 &< 28\cdot \dfrac{3^{\sqrt{x^2-3}}}{3}\\3^{\sqrt{x^2-3}}=t\\t^2+3 &< 28\cdot\dfrac{t}{3}\\3t^2+9 &< 28t\\3t^2-28t+9 &< 0\\(t-9)(3t-1) &< 0\\t &\in \left(\dfrac{1}{3}; 9\right)\end{aligned}\)

Неравенство таким образом распадается на систему.

\(\begin{cases}t>\dfrac{1}{3},\\t < 9.\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}3^{\sqrt{x^2-3}}>\dfrac{1}{3},\\3^{\sqrt{x^2-3}} < 9.\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}3^{\sqrt{x^2-3}}>3^{-1},\\3^{\sqrt{x^2-3}} < 3^2.\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{x^2-3}>-1,\\\sqrt{x^2-3} < 2.\end{cases}\)

Неравенство \(\sqrt{x^2-3}>-1\) справедливо на всём ОДЗ подкоренного выражения, т.е. решаем \(x^2-3\geqslant 0\).

Неравенство \(\sqrt{x^2-3} < 2\) преобразуем возведением обеих частей в квадрат. Получится:

\(\begin{cases}x^2-3\geqslant 0,\\x^2-3 < 4.\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x^2\geqslant 3,\\x^2 < 7.\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\left[\begin{gathered}x\geqslant\sqrt{3},\\x\leqslant-\sqrt{3};\end{gathered}\right.\\\begin{cases}x > -\sqrt{7},\\x<\sqrt{7}.\end{cases}\end{cases}\)

Решение запишем в виде интервалов:

\(\begin{cases}x\in\left(-\infty;-\sqrt{3}\right]\cup\left[\sqrt{3};+\infty\right),\\x\in\left(-\sqrt{7};\sqrt{7}\right).\end{cases}\Leftrightarrow x\in\left(-\sqrt{7};-\sqrt{3}\right]\cup\left[\sqrt{3};\sqrt{7}\right)\)

Загрузка...