Сайт подготовки к экзаменам Uchus.online

#1964: Неравенства №5695

Условие

Решите неравенство \(\log_2(4^x+81^x-4\cdot 9^x+3)\geqslant 2x\)

\(\log_{2}{(4^x+81^x-4\cdot 9^x+3)}\geqslant 2x\)

\(\log_{2}{(4^x+81^x-4\cdot 9^x+3)}\geqslant\log_{2}{2^{2x}}\)

\(4^x+81^x-4\cdot 9^x+3\geqslant 2^{2x}\) - удовлетворяет ОДЗ, т. к. \(2^{2x}>0\) при любом \(x\)

\(2^{2x}+9^{2x}-4\cdot 9^x+3\geqslant 2^{2x}\)

\(9^{2x}-4\cdot 9^x+3\geqslant 0\)

Пусть \(t=9^x \,\,\, при \,\,\,     t>0\), тогда

\(t^2-4t+3\geqslant 0\)

\(t_1=1 \,\,\, и \,\,\, t_2=3\)

\(0<t\leqslant 1 \,\,\, и \,\,\, t\geqslant 3\)

1. \(0<9^x\leqslant 1\)

\(x\leqslant 0\)

2. \(t\geqslant 3\)

\(9^x\geqslant 9^{\frac{1}{2}}\)

\(x\geqslant 0{,}5\)

Ответ: \((-\infty;0] \cup [0{,}5; +\infty)\)

Загрузка...