Сайт подготовки к экзаменам Uchus.online

Нахождение условной вероятности

Условие

Симметричный игральный кубик бросили некоторое количество раз. В сумме выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что было сделано 2 броска. Результат округлите до сотых.

В этой задаче нужно найти вероятность события "было сделано 2 броска" при условии, что произошло событие "в сумме выпало 3 очка".

Напомню, что условная вероятность события \(B\) относительно события \(A\) (то есть, вероятность наступления события \(B\) при условии, что событие \(A\) уже наступило) обозначается \(P_A(B)\) и равна \(P_A(B)=\dfrac{P(A\cdot B)}{P(A)}\).
Здесь \(P(A\cdot B)\) - вероятность одновременного наступления событий \(A\) и \(B\) (вероятность их пересечения). Её можно также обозначть как \(P(A\cap B)\) или \(P(A\,и\,B)\). А условную вероятность \(P_A(B)\) иногда обозначают \(P(B|A)\), но мне первый вариант нравится больше.

Из этой формулы слудует формула умножения:

\(P(A\cdot B)=P(A)\cdot P_A(B)\)

В нашем случае событие \(A\), которое уже произошло, - "в сумме выпало 3 очка". А событие \(B\), вероятность которого при условии наступления \(A\) мы ищем, - "сделано 2 броска".

Итак, по формуле условной вероятности получается, что 

\(P(\text{сделано 2 броска при условии, что в сумме выпало 3 очка})=\\=\dfrac{P(\text{в сумме выпало 3 очка И было сделано 2 броска})}{P(\text{в сумме выпало 3 очка})}\)

Найдем числитель - вероятность пересечения событий "2 броска" и "3 очка". Этому пересечению удовлетворяют только два элементарных исхода - (1;2) и (2;1). Вероятность можно посчитать как \(\dfrac2{36}\) (всего 36 равновероятных исходов двух бросков кубика). Или как \(\dfrac16\cdot \dfrac16+\dfrac16\cdot \dfrac16=\dfrac2{36}\) - вероятность получить конкретное число при одном броске \(\dfrac16\), и вероятность второго броска от неё не зависит, поэтому вероятности \(\dfrac16\) и \(\dfrac16\) перемножаем. А два этих события - (1;2) и (2;1) несовместные, поэтому их вероятности складываем.
В любом случае, получаем, что \(P(A\cdot B)=\dfrac2{36}=\dfrac1{18}\).

Теперь найдем знаменатель - веростноять, что при некотором количестве бросков в сумме выпало 3 очка. Благоприятные исходы здесь: (3), (2;1), (1;2), (1;1;1). Но они не равновероятные. Классическим определением вероятности здесь воспользоваться не получится. Посчитаем отдельно вероятность каждого, а затем результаты сложим (они ведь несовместны).
\(P(3)=\dfrac16\) - вероятность выбросить 3 при одном броске;
\(P(2;1)=P(1;2)=\dfrac16 \cdot \dfrac16=\dfrac1{36}\) - вероятности выбросить (1;2) и (2;1) равны;
\(P(1;1;1)=\dfrac16\cdot \dfrac16\cdot \dfrac16=\dfrac1{216}\) - вероятность выбросить три единицы.

\(P(\text{в сумме выпало 3 очка})=P(3)+P(2;1)+P(1;2)+P(1;1;1)=\dfrac16+\dfrac1{36}+\dfrac1{36}+\dfrac1{216}=\dfrac{49}{216}\).

И теперь можем найти то, что спрашивалось - условную вероятность

\(P(\text{сделано 2 броска при условии, что в сумме выпало 3 очка})=\dfrac{\frac1{18}}{\frac{49}{216}}=\dfrac{12}{49}\).

Ну а с округлением до сотых \(\dfrac{12}{49}=0{,}24\)

Ответы (4)

Я не для этого интернет подключал

???? Дмитрий унизил меня этой задачкой

красиво

Загрузка...
Загрузка...