Банк ЕГЭ профиль
Скрыть/развернуть все

«13. Сложные уравнения»



Задача №1049
Сложность: 65 %

а) Решите уравнение \( 4^{\sin x}+4^{\sin(x+\pi)}=\dfrac{5}{2} \).

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\Big[ \dfrac{5\pi}{2};4\pi\Big]\).

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а)

1. 2πn, n∈Z 2. π/6+2πn 3. π/4+2πn, n∈Z 4. π/3+2πn, n∈Z
5. π/2+2πn, n∈Z  6. 2π/3+2πn, n∈Z 7. 3π/4+2πn, n∈Z 8. 5π/6+2πn, n∈Z
9. π+2πn, n∈Z 10. -π/6+2πn, n∈Z 11. -π/4+2πn, n∈Z 12. -π/3+2πn, n∈Z
13. -π/2+2πn, n∈Z 14. -2π/3+2πn, n∈Z 15. -3π/4+2πn, n∈Z 16. -5π/6+2πn, n∈Z

б)

17. 5π/2 18. 8π/3 19. 11π/4 20. 17π/6
21. 3π 22. 19π/6 23. 13π/4 24. 10π/3
25. 7π/2 26. 11π/3 27. 15π/4 28. 23π/6
29. 4π      

 

Задача №501
Сложность: 69 %

а) Решите уравнение \(\sin 2x=\cos (x-\frac{3\pi}2)\).
б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[ 2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\).

 

Ответ запишите в виде двузначного числа, где первая цифра соответствует ответу на пункт "а", а вторая – ответу на пункт "б".

 

a) 1. \(\pm\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n, n\in\mathbb{Z};   \pi k, k\in\mathbb{Z}\)

2. \(\pm\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n, n\in\mathbb{Z};   \pi k, k\in\mathbb{Z}\)

3. \(\dfrac{\pi}{3}+2\pi n, n\in\mathbb{Z}; \dfrac{2\pi}{3}+2\pi m, m\in\mathbb{Z};   2\pi k, k\in\mathbb{Z}\)

4. \( \pi k, k\in \mathbb{Z};     \dfrac{\pi}6+2\pi n, n\in \mathbb{Z};  \dfrac{5\pi}6+2\pi m, m\in \mathbb{Z} \)

 

б) 1. 2π; 17π/6; 3π; 19π/6

2. 2π; 7π/3; 8π/3; 3π

3. 2π; 13π/6; 17π/6; 3π

4. 2π; 8π/3; 3π; 10π/3

 

Задача №415
Сложность: 70 %

а) Решите уравнение \(2\sin\left(x+\dfrac{\pi}3\right)+\cos 2x=\sqrt3\cos x+1\).
б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \(\left[ -3\pi;-\dfrac{3\pi}2\right]\).

 

Ответ запишите в виде двузначного числа, где первая цифра соответствует ответу на пункт "а", а вторая – ответу на пункт "б".

a) 1. \(-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n, n\in\mathbb{Z};   -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi m, m\in\mathbb{Z};   \pi k, k\in\mathbb{Z}\)

2. \(  \pm\dfrac{\pi}6+2\pi n, n\in \mathbb{Z};  \pm\dfrac{5\pi}6+2\pi k, k\in \mathbb{Z}\)

3. \( \pi k, k\in \mathbb{Z};     \pm\dfrac{\pi}3+2\pi n, n\in \mathbb{Z}\)

4. \( \pi k, k\in \mathbb{Z};     \dfrac{\pi}6+2\pi n, n\in \mathbb{Z};  \dfrac{5\pi}6+2\pi m, m\in \mathbb{Z} \)

 

б) 1. -3π; -2π; -11π/6

2. -3π; -17π/6; -13π/6; -2π

3. -3π; -7π/3; -2π; -5π/3

4. -17π/6; -13π/6; -11π/6

Задача №516
Сложность: 74 %

а) Решите уравнение \(\sqrt2\sin \left(x+\dfrac{\pi}4\right)=\cos^2x+\sin x\).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[ -3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right]\).

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а)

1. 2πn, n∈Z 2. π/6+2πn 3. π/4+2πn, n∈Z 4. π/3+2πn, n∈Z
5. π/2+2πn, n∈Z  6. 2π/3+2πn, n∈Z 7. 3π/4+2πn, n∈Z 8. 5π/6+2πn, n∈Z
9. π+2πn, n∈Z 10. -π/6+2πn, n∈Z 11. -π/4+2πn, n∈Z 12. -π/3+2πn, n∈Z
13. -π/2+2πn, n∈Z 14. -2π/3+2πn, n∈Z 15. -3π/4+2πn, n∈Z 16. -5π/6+2πn, n∈Z

б)

17. -3π 18. -17π/6 19. -11π/4 20. -8π/3
21. -5π/2 22. -7π/3 23. -9π/4 24. -13π/6
25. -2π 26. -11π/6 27. -7π/4 28. -5π/3
29. -3π/2      

 

Задача №1243
Сложность: 74 %

а) Решить уравнение \(2\cos 2x+4\sqrt{3}\cos x-7=0\).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right]\).

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а)

1. 2πn, n∈Z 2. π/6+2πn 3. π/4+2πn, n∈Z 4. π/3+2πn, n∈Z
5. π/2+2πn, n∈Z  6. 2π/3+2πn, n∈Z 7. 3π/4+2πn, n∈Z 8. 5π/6+2πn, n∈Z
9. π+2πn, n∈Z 10. -π/6+2πn, n∈Z 11. -π/4+2πn, n∈Z 12. -π/3+2πn, n∈Z
13. -π/2+2πn, n∈Z 14. -2π/3+2πn, n∈Z 15. -3π/4+2πn, n∈Z 16. -5π/6+2πn, n∈Z

б)

17. 5π/2 18. 8π/3 19. 11π/4 20. 17π/6
21. 3π 22. 19π/6 23. 13π/4 24. 10π/3
25. 7π/2 26. 11π/3 27. 15π/4 28. 23π/6
29. 4π      

 

Задача №1102
Сложность: 75 %

а) Решите уравнение \(\dfrac{\sin x}{2\cos^2{\dfrac{x}2}}=4\sin^2{\dfrac{x}2}\).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\Big[ -\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\Big]\).

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а)

1. 2πn, n∈Z 2. π/6+2πn 3. π/4+2πn, n∈Z 4. π/3+2πn, n∈Z
5. π/2+2πn, n∈Z  6. 2π/3+2πn, n∈Z 7. 3π/4+2πn, n∈Z 8. 5π/6+2πn, n∈Z
9. π+2πn, n∈Z 10. -π/6+2πn, n∈Z 11. -π/4+2πn, n∈Z 12. -π/3+2πn, n∈Z
13. -π/2+2πn, n∈Z 14. -2π/3+2πn, n∈Z 15. -3π/4+2πn, n∈Z 16. -5π/6+2πn, n∈Z

б)

17.-7π/2 18. -10π/3 19. -13π/4 20. -19π/6
21. -3π 22. -17π/6 23. -11π/4 24. -8π/3
25.-5π/2 26. -7π/3 27. -9π/4 28. -13π/6
29. -2π      

 

 

Задача №1244
Сложность: 76 %

а) Решить уравнение \(2\sin^4x+3\cos2x+1=0\).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([3\pi;\pi]\).

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а)

1. 2πn, n∈Z 2. π/6+2πn 3. π/4+2πn, n∈Z 4. π/3+2πn, n∈Z
5. π/2+2πn, n∈Z  6. 2π/3+2πn, n∈Z 7. 3π/4+2πn, n∈Z 8. 5π/6+2πn, n∈Z
9. π+2πn, n∈Z 10. -π/6+2πn, n∈Z 11. -π/4+2πn, n∈Z 12. -π/3+2πn, n∈Z
13. -π/2+2πn, n∈Z 14. -2π/3+2πn, n∈Z 15. -3π/4+2πn, n∈Z 16. -5π/6+2πn, n∈Z

б)

17. π 18. 7π/6 19. 5π/4 20. 4π/3
21. 3π/2 22. 5π/3 23. 7π/4 24. 11π/6
25. 2π 26. 13π/6 27. 9π/4 28. 7π/2
29. 5π/2 30. 8π/3 31. 11π/4 32. 17π/6
Задача №1312
Сложность: 76 %

а) Решите уравнение \(\cos 2x - \sqrt{2}\cos \Big(\dfrac{3\pi}{2} + x\Big) – 1 = 0\).

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\Big[\dfrac{3\pi}{2}; 3\pi\Big]\).

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

a)

1. 2πn, n∈Z 2. π/6+2πn 3. π/4+2πn, n∈Z 4. π/3+2πn, n∈Z
5. π/2+2πn, n∈Z  6. 2π/3+2πn, n∈Z 7. 3π/4+2πn, n∈Z 8. 5π/6+2πn, n∈Z
9. π+2πn, n∈Z 10. -π/6+2πn, n∈Z 11. -π/4+2πn, n∈Z 12. -π/3+2πn, n∈Z
13. -π/2+2πn, n∈Z 14. -2π/3+2πn, n∈Z 15. -3π/4+2πn, n∈Z 16. -5π/6+2πn, n∈Z

 

б) 

17. 3π/2 18. 5π/3 19. 7π/4 20. 11π/6
21. 2π 22. 13π/6 23. 9π/4 24. 7π/3
25. 5π/2 26. 8π/3 27. 11π/4 28. 17π/6
29. 3π      
Задача №553
Сложность: 77 %

a) Решите уравнение \(169^{\cos^2x}=13^{\sqrt2\cos x}\).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π;3π].

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а)

1. 2πn, n∈Z 2. π/6+2πn 3. π/4+2πn, n∈Z 4. π/3+2πn, n∈Z
5. π/2+2πn, n∈Z  6. 2π/3+2πn, n∈Z 7. 3π/4+2πn, n∈Z 8. 5π/6+2πn, n∈Z
9. π+2πn, n∈Z 10. -π/6+2πn, n∈Z 11. -π/4+2πn, n∈Z 12. -π/3+2πn, n∈Z
13. -π/2+2πn, n∈Z 14. -2π/3+2πn, n∈Z 15. -3π/4+2πn, n∈Z 16. -5π/6+2πn, n∈Z

б)

17. 2π 18. 13π/6 19. 9π/4 20. 7π/3
21. 5π/2 22. 8π/3 23. 11π/4 24. 17π/6
25. 3π 26. 11π/6 27. 7π/4 28. 5π/3
29. 3π/2      
Задача №1156
Сложность: 78 %

а) Решите уравнение  \( \cos^2(\pi-x)-\sin(x+\dfrac{3\pi}{2})=0 \).

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \( \left[\dfrac{5\pi}{2}; 4\pi\right] \)

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а)

1. 2πn, n∈Z 2. π/6+2πn 3. π/4+2πn, n∈Z 4. π/3+2πn, n∈Z
5. π/2+πn, n∈Z  6. 2π/3+2πn, n∈Z 7. 3π/4+2πn, n∈Z 8. 5π/6+2πn, n∈Z
9. π+2πn, n∈Z 10. -π/6+2πn, n∈Z 11. -π/4+2πn, n∈Z 12. -π/3+2πn, n∈Z
13. -π/2+2πn, n∈Z 14. -2π/3+2πn, n∈Z 15. -3π/4+2πn, n∈Z 16. -5π/6+2πn, n∈Z

б)

17. 5π/2 18. 8π/3 19. 11π/4 20. 17π/6
21. 3π 22. 19π/6 23. 13π/4 24. 10π/3
25. 7π/2 26. 11π/3 27. 15π/4 28. 23π/6
29. 4π      
Задача №962
Сложность: 80 %

a) Решите уравнение \( \dfrac{2\cos^2x-2\cos x \cos2x-1}{\sqrt{\sin x}}=0\).

б) Найдите все корни этого уравнения, пранадлежащие отрезку \(\Big[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\Big] \).

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а)

1. 2πn, n∈Z 2. π/6+2πn 3. π/4+2πn, n∈Z 4. π/3+2πn, n∈Z
5. π/2+2πn, n∈Z  6. 2π/3+2πn, n∈Z 7. 3π/4+2πn, n∈Z 8. 5π/6+2πn, n∈Z
9. π+2πn, n∈Z 10. -π/6+2πn, n∈Z 11. -π/4+2πn, n∈Z 12. -π/3+2πn, n∈Z
13. -π/2+2πn, n∈Z 14. -2π/3+2πn, n∈Z 15. -3π/4+2πn, n∈Z 16. -5π/6+2πn, n∈Z

б)

17. 3π/2 18. 5π/3 19. 7π/4 20. 11π/6
21. 2π 22. 13π/6 23. 9π/4 24. 7π/3
25. 5π/2 26. 8π/3 27. 11π/4 28. 17π/6
29. 3π      
Задача №1083
Сложность: 80 %

а) Решите уравнение \(\dfrac{\sin x}{\sin^2{\dfrac{x}2}}=4\cos^2{\dfrac{x}2}\).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\Big[ -\dfrac{9\pi}{2};-3\pi\Big]\).

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а)

1. 2πn, n∈Z 2. π/6+2πn 3. π/4+2πn, n∈Z 4. π/3+2πn, n∈Z
5. π/2+2πn, n∈Z  6. 2π/3+2πn, n∈Z 7. 3π/4+2πn, n∈Z 8. 5π/6+2πn, n∈Z
9. π+2πn, n∈Z 10. -π/6+2πn, n∈Z 11. -π/4+2πn, n∈Z 12. -π/3+2πn, n∈Z
13. -π/2+2πn, n∈Z 14. -2π/3+2πn, n∈Z 15. -3π/4+2πn, n∈Z 16. -5π/6+2πn, n∈Z

б)

17. -9π/2 18. -13π/3 19. -17π/4 20. -25π/6
21. -4π 22. -23π/6 23. -15π/4 24. -11π/3
25. -7π/2 26. -10π/3 27. -13π/4 28. -19π/6
29. -3π      

 

Задача №381
Сложность: 81 %

а) Решите уравнение \( 9^{\sin x}+9^{\sin(x+\pi)}=\dfrac{10}{3} \).

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\Big[ -\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\Big]\).

Ответ запишите в виде двузначного числа, где первая цифра соответствует ответу на пункт "а", а вторая – ответу на пункт "б".

а) 1. \(±\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\, n\in\mathbb{Z}\)

2. \(\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\, n\in\mathbb{Z}\)

3. \(±\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\, n\in\mathbb{Z}\)

4. \(\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\, n\in\mathbb{Z}; \dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\, k\in\mathbb{Z}\)

б) 1. -19π/6; -17π/6; -13π/6

2. -19π/6

3. -13π/6

4. -19π/6; -13π/6

Задача №787
Сложность: 81 %

а) Решите уравнение \((1-3\mathrm{tg\,}^2x)\sqrt{13\sin x}=0\).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[ -2\pi;-\dfrac{\pi}2\right]\).

 

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а)

1. 2πn, n∈Z 2. π/6+2πn 3. π/4+2πn, n∈Z 4. π/3+2πn, n∈Z
5. π/2+2πn, n∈Z  6. 2π/3+2πn, n∈Z 7. 3π/4+2πn, n∈Z 8. 5π/6+2πn, n∈Z
9. π+2πn, n∈Z 10. -π/6+2πn, n∈Z 11. -π/4+2πn, n∈Z 12. -π/3+2πn, n∈Z
13. -π/2+2πn, n∈Z 14. -2π/3+2πn, n∈Z 15. -3π/4+2πn, n∈Z 16. -5π/6+2πn, n∈Z

б)

17. -2π 18. -11π/6 19. -7π/4 20. -5π/3
21. -3π/2 22. -4π/3 23. -5π/4 24. -7π/6
25. -π 26. -5π/6 27. -3π/4 28. -2π/3
29. -π/2      

 

Задача №1034
Сложность: 81 %

а) Решите уравнение \(\sqrt {x^3-4x^2-10x+29}=3-x\).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-\sqrt3; \sqrt{30}]\).

Введите ответы на пункты а) и б) по возрастанию через точку с запятой, без пробелов (сначала все ответы пункта а, а затем пункта б).

Задача №1313
Сложность: 88 %

a) Решите уравнение \(\mathrm{tg\,} x +  \cos \Big(\dfrac{3\pi}{2} – 2x\Big) = 0\);

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку \(\Big[- \pi; \dfrac{\pi}{2}\Big]\).

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а)

1. 2πn, n∈Z 2. π/6+2πn 3. π/4+2πn, n∈Z 4. π/3+2πn, n∈Z
5. π/2+2πn, n∈Z  6. 2π/3+2πn, n∈Z 7. 3π/4+2πn, n∈Z 8. 5π/6+2πn, n∈Z
9. π+2πn, n∈Z 10. -π/6+2πn, n∈Z 11. -π/4+2πn, n∈Z 12. -π/3+2πn, n∈Z
13. -π/2+2πn, n∈Z 14. -2π/3+2πn, n∈Z 15. -3π/4+2πn, n∈Z 16. -5π/6+2πn, n∈Z

б) 

17. -π 18. -5π/6 19. -3π/4 20. -2π/3
21. -π/2 22. -π/3 23. -π/4 24. -π/6
25. 0 26. π/6 27. π/4 28. π/3
29. π/2      

 

Задача №1327
Сложность: 89 %

а) Решите уравнение \(\Big(\dfrac{1}{16}\Big) ^{\cos x} + 3⋅\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^{\cos x} – 4 = 0\)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([4\pi; 7\pi]\)

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а)

1. 2πn, n∈Z 2. π/6+2πn 3. π/4+2πn, n∈Z 4. π/3+2πn, n∈Z
5. π/2+2πn, n∈Z  6. 2π/3+2πn, n∈Z 7. 3π/4+2πn, n∈Z 8. 5π/6+2πn, n∈Z
9. π+2πn, n∈Z 10. -π/6+2πn, n∈Z 11. -π/4+2πn, n∈Z 12. -π/3+2πn, n∈Z
13. -π/2+2πn, n∈Z 14. -2π/3+2πn, n∈Z 15. -3π/4+2πn, n∈Z 16. -5π/6+2πn, n∈Z

б)

17. 4π 18. 25π/6 19. 9π/2 20. 19π/4
21. 5π 22. 31π/6 23. 21π/4 24. 11π/2
25. 17π/3 26. 23π/4 27. 35π/6 28. 17π/4
29. 19π/3 30. 13π/2 31. 19π/4 32. 7π

 

2019 ©, ИП Иванов Дмитрий Михайлович