Банк ЕГЭ профиль
Скрыть/развернуть все

«14. Стереометрия»



Задача №515
Сложность: 55 %

В правильной четырёхугольной призме \(АВСDА_1В_1С_1D_1\) сторона основания равна 13, а боковое ребро \(АА_1 = 6\). Точка К принадлежит ребру \(В_1 С_1\) и делит его в отношении 4:9,  считая от вершины \(В_1\).
а) Постройте сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки В, D и К.
​б) Найдите площадь этого сечения.

Задача №412
Сложность: 58 %

В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сторона основания равна 11, а боковое ребро \(АА_1 = 7\). Точка К принадлежит ребру \(В_1 С_1\) и делит его в отношении 8:3,  считая от вершины \(В_1\).
а) Постройте сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки В, D и К.
​б) Найдите площадь этого сечения.

Задача №1103
Сложность: 60 %

Дана правильная четырехугольная призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). На ребре \(AA_1\) отмечена точка \(K\) так, что \(AK:KA_1=1:3\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(B\), \(K\) параллельно прямой \(AC\). Эта плоскость пересекает ребро \(DD_1\) в точке \(M\).

а) Докажите, что M – середина ребра \(DD_1\).

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью \(\alpha\), если \(AB=5\), \(AA_1=4\).

Задача №571
Сложность: 64 %

В основании прямой теругольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC\). Точка \(K\) - середина ребра \(A_1B_1\), а точка \(M\) делит ребро \(АС\) в отношении \(AM:MC=1:3\).

а) Докажите, что \(KM\) перпендикулярно \(AC\).

б) Найдите угол между прямой \(KM\) и плоскостью \(ABB_1\), если \(AB=5\), \(AC=8\) и \(AA_1=4\). 

Задача №1050
Сложность: 64 %

В пирамиде \(ABCD\) ребра \(DA\), \(DB\) и \(DC\) попарно перпендикулярны, а \(AB=BC=AC=6\sqrt2\). а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На ребрах \(DA\) и \(DC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причем \(DM:MA=DN:NC=2:1\). Найдите площадь сечения \(MNB\).

Задача №1086
Сложность: 65 %

Дана правильная четырехугольная призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). На ребре \(AA_1\) отмечена точка \(K\) так, что \(AK:KA_1=1:2\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(B\), \(K\) параллельно прямой \(AC\). Эта плоскость пересекает ребро \(DD_1\) в точке \(M\).

а) Докажите, что \(MD:MD_1=2:1\).

б) Найдите площадь сечения, если \(AB=4\), \(AA_1=6\).

 

Задача №788
Сложность: 66 %

В правильной четырехугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сторона основания \(AB\) равна 5, а боковое ребро равно \(\sqrt5\). На ребрах \(BC\) и \(C_1D_1\) отмечены точки \(K\) и \(L\) соответственно, причем \(CK=2\), а \(C_1L=1\). Плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(BD\) и содержит точки \(K\) и \(L\).

а) Докажите, что прямая \(A_1C\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\).
б) Найдите объем пирамиды, вершина которой — точка \(A_1\), а основание — сечение данной призмы плоскостью \(\alpha\).

Задача №504
Сложность: 67 %

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM:МА=2:1. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников (меньшего к большему), на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Запишите ответ в виде несократимого отношения, например "4:13".

Задача №382
Сложность: 70 %

В пирамиде \(ABCD\) ребра \(DA\), \(DB\) и \(DC\) попарно перпендикулярны, а \(AB=BC=AC=7\sqrt2\).

а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На ребрах \(DA\) и \(DC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причем \(DM:MA=DN:NC=4:3\). Найдите площадь сечения \(MNB\).

Выберите верный ответ на пункт "б":

1. \(12\sqrt3\)

2. \(2\sqrt{114}\)

3. \(4\sqrt{29}\)

4. \(2\sqrt{118}\)

5. \(4\sqrt{30}\)

Задача №1035
Сложность: 83 %

В правильной треугольной призме  все рёбра равны 2. Точка \(M\) — середина ребра \(AA_1\).

а) Докажите, что прямые \(MB\) и \(B_1C\) перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми \(MB\) и \(B_1C\).

Задача №502
Сложность: 87 %

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM:МА=5:1. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников (меньшего к большему), на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Запишите ответ в виде несократимого отношения, например "4:13".

2019 ©, ИП Иванов Дмитрий Михайлович