Банк ЕГЭ профиль
Скрыть/развернуть все

«14. Стереометрия»



Задача №412
Сложность: 50 %

В правильной четырёхугольной призме \(АВСDА_1В_1С_1D_1\) сторона основания равна 11, а боковое ребро \(АА_1 = 7\). Точка К принадлежит ребру \(В_1 С_1\) и делит его в отношении 8:3,  считая от вершины \(В_1\).
а) Постройте сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки В, D и К.
​б) Найдите площадь этого сечения.

Задача №515
Сложность: 50 %

В правильной четырёхугольной призме \(АВСDА_1В_1С_1D_1\) сторона основания равна 13, а боковое ребро \(АА_1 = 6\). Точка К принадлежит ребру \(В_1 С_1\) и делит его в отношении 4:9,  считая от вершины \(В_1\).
а) Постройте сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки В, D и К.
​б) Найдите площадь этого сечения.

Задача №382
Сложность: 52 %

В пирамиде \(ABCD\) ребра \(DA\), \(DB\) и \(DC\) попарно перпендикулярны, а \(AB=BC=AC=7\sqrt2\).

а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На ребрах \(DA\) и \(DC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причем \(DM:MA=DN:NC=4:3\). Найдите площадь сечения \(MNB\).

Выберите верный ответ на пункт "б":

1. \(12\sqrt3\)

2. \(2\sqrt{114}\)

3. \(4\sqrt{29}\)

4. \(2\sqrt{118}\)

5. \(4\sqrt{30}\)

Задача №571
Сложность: 54 %

В основании прямой теругольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит равнобедренный треугольник \(ABC\) с основанием \(AC\). Точка \(K\) - середина ребра \(A_1B_1\), а точка \(M\) делит ребро \(АС\) в отношении \(AM:MC=1:3\).

а) Докажите, что \(KM\) перпендикулярно \(AC\).

б) Найдите угол между прямой \(KM\) и плоскостью \(ABB_1\), если \(AB=5\), \(AC=8\) и \(AA_1=4\). 

Задача №504
Сложность: 60 %

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM:МА=2:1. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников (меньшего к большему), на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Запишите ответ в виде несократимого отношения, например "4:13".

Задача №502
Сложность: 88 %

На ребре SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM:МА=5:1. Точки P и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников (меньшего к большему), на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Запишите ответ в виде несократимого отношения, например "4:13".

2018 ©, ИП Иванов Дмитрий Михайлович