Банк ЕГЭ профиль
Скрыть/развернуть все

«16. Планиметрия»



Задача №518
Сложность: 54 %

В трапеции \(ABCD\) с прямым углом \(A\) расположены две окружности. Одна из них касается меньшего основания \(BC\) и боковых сторон, а другая – большего основания \(AD\), боковых сторон и первой окружности. Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает большее основание в точке \(P\).


а) Докажите, что \(AP:PD=\sin D\);
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей 1 и 3.

Задача №573
Сложность: 57 %

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина гипотенузы AB, Н – точка пересечения прямых CM и DK.

а) Докажите, что CM⊥DK.

б) Найдите MH, если катеты AC=3, BC=4.

Задача №384
Сложность: 58 %

В равнобедренной трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) в три раза больше основания \(BC\).

а) Докажите, что высота \(CH\) трапеции разбивает основание \(AD\) на отрезки, один из которых вдвое больше другого.

б) Найдите расстояние от вершины \(C\) до середины диагонали \(BD\), если \(AD=36\) и \(AC=26\).

Задача №414
Сложность: 61 %

В трапеции \(ABCD\) с прямым углом \(A\) расположены две окружности. Одна из них касается меньшего основания \(BC\) и боковых сторон, а другая – большего основания \(AD\), боковых сторон и первой окружности. Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает большее основание в точке \(P\).


а) Докажите, что \(AP:PD=\sin D\);
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей \(\dfrac13\) и \(\dfrac43\).

Задача №525
Сложность: 62 %

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол при вершине \(A\) равен 30°. Точка \(D\) – середина гипотенузы \(AB\). Окружности, вписанные в треугольники \(ADC\) и \(BDC\) касаются сторон \(AC\) и \(BC\) в точках \(K\) и \(P\) соответственно.
а) Докажите, что \(KP\) равно \(CD\).
б) Найдите, в каком отношении делит гипотенузу \(AB\) точка касания большей из этих окружностей, считая от вершины \(A\).

Ответ запишите в виде несрократимого отношения без пробелов, например "4:13".

2018 ©, ИП Иванов Дмитрий Михайлович