Банк ЕГЭ профиль
Скрыть/развернуть все

«16. Планиметрия»



Задача №1105
Сложность: 45 %

Высоты тупоугольного треугольника \(ABC\) с тупым углом \(ABC\) пересекаются в точке \(H\). Угол \(AHC\) равен 60°.

а) Докажите, что угол \(ABC\) равен 120°.

б) Найдите \(BH\), если \(AB=6\), \(BC=10\).

 

Задача №518
Сложность: 58 %

В трапеции \(ABCD\) с прямым углом \(A\) расположены две окружности. Одна из них касается меньшего основания \(BC\) и боковых сторон, а другая – большего основания \(AD\), боковых сторон и первой окружности. Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает большее основание в точке \(P\).


а) Докажите, что \(AP:PD=\sin D\);
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей 1 и 3.

Задача №384
Сложность: 65 %

В равнобедренной трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) в три раза больше основания \(BC\).

а) Докажите, что высота \(CH\) трапеции разбивает основание \(AD\) на отрезки, один из которых вдвое больше другого.

б) Найдите расстояние от вершины \(C\) до середины диагонали \(BD\), если \(AD=36\) и \(AC=26\).

Задача №1056
Сложность: 67 %

 В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

б) Найдите BD.

Задача №414
Сложность: 69 %

В трапеции \(ABCD\) с прямым углом \(A\) расположены две окружности. Одна из них касается меньшего основания \(BC\) и боковых сторон, а другая – большего основания \(AD\), боковых сторон и первой окружности. Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает большее основание в точке \(P\).


а) Докажите, что \(AP:PD=\sin D\);
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей \(\dfrac13\) и \(\dfrac43\).

Задача №573
Сложность: 70 %

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина гипотенузы AB, Н – точка пересечения прямых CM и DK.

а) Докажите, что CM⊥DK.

б) Найдите MH, если катеты AC=3, BC=4.

Задача №525
Сложность: 73 %

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол при вершине \(A\) равен 30°. Точка \(D\) – середина гипотенузы \(AB\). Окружности, вписанные в треугольники \(ADC\) и \(BDC\) касаются сторон \(AC\) и \(BC\) в точках \(K\) и \(P\) соответственно.
а) Докажите, что \(KP\) равно \(CD\).
б) Найдите, в каком отношении делит гипотенузу \(AB\) точка касания большей из этих окружностей, считая от вершины \(A\).

Ответ запишите в виде несрократимого отношения без пробелов, например "4:13".

Задача №1087
Сложность: 73 %

Высоты тупоугольного треугольника \(ABC\) с тупым углом \(ABC\) пересекаются в точке \(H\). Угол \(AHC\) равен 60°.

а) Докажите, что угол \(ABC\) равен 120°.

б) Найдите \(BH\), если \(AB=7\), \(BC=8\).

 

Задача №1052
Сложность: 75 %

В равнобедренной трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) в три раза больше основания \(BC\).

а) Докажите, что высота \(CH\) трапеции разбивает основание \(AD\) на отрезки, один из которых вдвое больше другого.

б) Найдите расстояние от вершины \(C\) до середины диагонали \(BD\), если \(AD=18\) и \(AC=4\sqrt{13}\)

Задача №790
Сложность: 79 %

Точка O — центр описанной около треугольника ABC окружности, точка I — центр вписанной в этот треугольник окружности, точка H — точка пересечения высот треугольника ABC. Известно, что ∠BAC=∠OBC+∠OCB.
а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
б) Найдите угол OIH, если ∠ABC=75°

2019 ©, ИП Иванов Дмитрий Михайлович