Банк ЕГЭ профиль
Скрыть/развернуть все

«19. Теория чисел»



Задача №3264
Сложность: 87 %

Вася и Петя решали задачи из сборника, и они оба решили все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.
а) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу меньше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 5 дней?
б) Могло ли получиться так, что Вася в первый день решил на одну задачу больше, чем Петя, а Петя решил все задачи из сборника ровно за 4 дня?
в) Какое наименьшее количество задач могло быть в сборнике если каждый из ребят решал задачи более 6 дней, причем в первый день один из мальчиков решил на одну задачу больше чем другой?

Введите ответ в форме строки "да;да;1234". Где ответы на пункты разделены ";", и первые два ответа с маленькой буквы.

Задача №3062
Сложность: 90 %

Задуман набор последовательных (идущих подряд) натуральных чисел, сумма которых больше 231 и меньше 245.
а) Может ли в наборе быть 13 чисел?
б) Может ли в наборе быть 14 чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел, которые удовлетворяют заданному условию, может быть задумано?

Введите ответ в форме строки "да;да;1234". Где ответы на пункты разделены ";", и первые два ответа с маленькой буквы.

Задача №2640
Сложность: 91 %

Пусть K(n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа n.
а) Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n)=171?
б) Существует ли такое трёхзначное число n, что K(n)=172?
в) Какое наименьшее значение может принимать выражение 4K(n)-n, если n — трёхзначное число?

Введите ответ в форме строки "да;да;1234". Где ответы на пункты разделены ";", и первые два ответа с маленькой буквы

Задача №521
Сложность: 92 %

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 50 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 2 раза?

б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 2%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 2%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 9?

в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 2%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 2%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

Введите ответ в форме строки "да;да;1234". Где ответы на пункты разделены ";", и первые два ответа с маленькой буквы.

Задача №2888
Сложность: 92 %

Вася и Петя решали задачи из сборника, причем каждый следующий день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя — на две задачи больше, чем в предыдущий. В первый день каждый решил хотя бы одну задачу, а в итоге каждый решил все задачи сборника.

а) Могло ли быть в сборнике 85 задач?

б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней?

в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 300.

Введите ответ в форме строки "да;да;1234". Где ответы на пункты разделены ";", и первые два ответа с маленькой буквы.

Задача №595
Сложность: 93 %

Пусть K(n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа n.

а) Существует ли такое трехзначное число n, что K(n)=181?

б) Существует ли такое трехзначное число n, что K(n)=180?

в) Какое наименьшее значение может принимать выражение 9K(n)-n, если n – трехзначное число?

Введите ответ в форме строки "да;да;1234". Где ответы на пункты разделены ";", и первые два ответа с маленькой буквы.

Задача №1055
Сложность: 93 %

Маша и Наташа делали фотографии несколько дней подряд. В первый день Маша сделала \(m\) фотографий, а Наташа — \(n\) фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1265 фотографии больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение 11 дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение 12 дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 50 фотографий?

Введите ответ в форме строки "да;да;1234". Где ответы на пункты разделены ";", и первые два ответа с маленькой буквы.

Задача №1089
Сложность: 93 %

На доске написано \(n\) чисел \(a_i\) (\(i = 1,2, ..., n\)). Каждое из чисел не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на \(r_i\%\) (для каждого числа какой-то процент). При этом, для каждого \(i\) (\(1\leqslant 1 \leqslant n\)) либо \(r_i = 2\), либо число \(a\) уменьшается на 2, то есть становится равным \(a_i - 2\).

а) Может ли среднее арифметическое чисел \(r_1, r_2, ..., r_n\) быть равным 5?

б) Могло ли оказаться, что среднее арифметическое чисел \(r_1, r_2, ...,r_i\) больше 2, а сумма чисел \(а_1, а_2, ..., а_n\) уменьшилась более чем на \(2n\)?

в) Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел \(r_1, r_2, ..., r_n\).

Введите ответ в форме строки "да;да;23:34", где ответы на пункты разделены ";", первые два ответа с маленькой буквы, а ответ на пункт в) в виде отношения, записанного через ":".

Задача №1108
Сложность: 93 %

На доске написано \(n\) чисел \(a_i\) (\(i = 1,2, ..., n\)). Каждое из чисел не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на \(r_i\%\) (для каждого числа какой-то процент). При этом, для каждого \(i\) (\(1\leqslant 1 \leqslant n\)) либо \(r_i = 4\), либо число \(a\) уменьшается на 4, то есть становится равным \(a_i - 4\).

а) Может ли среднее арифметическое чисел \(r_1, r_2, ..., r_n\) быть равным 10?

б) Могло ли оказаться, что среднее арифметическое чисел \(r_1, r_2, ...,r_i\) больше 4, а сумма чисел \(а_1, а_2, ..., а_n\) уменьшилась менее чем на \(4n\)?

в) Пусть всего чисел 20, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 50. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел \(r_1, r_2, ..., r_n\).

Введите ответ в форме строки "да;да;1234". Где ответы на пункты разделены ";", и первые два ответа с маленькой буквы.

Задача №387
Сложность: 94 %

Маша и Наташа делали фотографии несколько дней подряд. В первый день Маша сделала \(m\) фотографий, а Наташа — \(n\) фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1615 фотографии больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение 5 дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение 6 дней?

в)  Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 30 фотографий?

 

Введите ответ в форме строки "да;да;1234". Где ответы на пункты разделены ";", и первые два ответа с маленькой буквы.

Задача №448
Сложность: 95 %

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали, по крайней мере, 2 учащихся, а суммарно тест писали 9 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а) Мог ли средний балл в школе №1 уменьшиться в 10 раз?

б) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 7?

в) Средний балл в школе №1 уменьшился на 10%, средний балл в школе №2 также уменьшился на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

Введите ответ в форме строки "да;да;1234". Где ответы на пункты разделены ";", и первые два ответа с маленькой буквы.

 

Задача №529
Сложность: 95 %

а) Существуют ли такие двузначные натуральные числа \(m\) и \(n\), что \(\left| \dfrac{m}{n}-\sqrt2\right| \leqslant \dfrac1{100}\)?

б) Существуют ли такие двузначные натуральные числа \(m\) и \(n\), что \(\left| \dfrac{m^2}{n^2}-2 \right| \leqslant \dfrac1{10000}\)?

в) Найдите все возможные значения натурального числа \(n\), при каждом из которых значение выражения \( \left| \sqrt2 - \dfrac{n+10}{n}\right|\) является наименьшим.

Введите ответ в форме строки "да;да;1234". Где ответы на пункты разделены ";", и первые два ответа с маленькой буквы.

Задача №1070
Сложность: 98 %

На доске были написаны несколько целых чисел. Несколько раз с доски стирали по два числа, сумма которых делится на 3.
а) Может ли сумма всех оставшихся на доске чисел равняться 8, если сначала по одному разу были написаны числа 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12?
б) Может ли на доске остаться ровно два числа, разность между которыми равна 54, если сначала по одному разу были написаны все натуральные числа от 200 до 299 включительно?
в) Известно, что на доске осталось ровно два числа, а сначала были по одному разу написаны все натуральные числа от 200 до 299 включительно. Какое наибольшее значение может получиться, если поделить одно из оставшихся чисел на второе из них?

Введите ответ в форме строки "да;да;23:34", где ответы на пункты разделены ";", первые два ответа с маленькой буквы, а ответ на пункт в) в виде отношения, записанного через ":".

2019 ©, ИП Иванов Дмитрий Михайлович