Банк ОГЭ
Скрыть/развернуть все

«25. Геометрические задачи на доказательство»



Задача №3194
Сложность: 26 %

В тре­уголь­ни­ке \(ABC\) с тупым углом \(ACB\) про­ве­де­ны вы­со­ты \(AA_1\) и \(BB_1\). Докажите, что тре­уголь­ни­ки \(A_1CB_1\) и \(ACB\) подобны.

Задача №2732
Сложность: 29 %

Докажите, что если окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках B и C, и биссектриса AD угла BAC пересекает меньшую из двух дуг BC в точке N, то CN — биссектриса угла ACB.

Задача №3354
Сложность: 32 %

В окруж­но­сти через се­ре­ди­ну O хорды AC про­ве­де­на хорда BD так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды BD.

Задача №538
Сложность: 33 %

Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны.

Задача №1412
Сложность: 40 %

В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны CD. Известно, что AK=BK. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Задача №2283
Сложность: 40 %

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.

Задача №629
Сложность: 42 %

Через середину медианы \(AM\) и вершину \(B\) треугольника \(ABC\) проведена прямая, пересекающая сторону \(AC\) в точке \(K\). Докажите, что \(AK:KC=1:2\).

Задача №774
Сложность: 43 %

Окружности с цен­тра­ми в точ­ках A и B пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках C и D, причём точки A и B лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой CD. Докажите, что CD ⊥ AB.

Задача №2934
Сложность: 43 %

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность, и что продолжения сторон AD и BC пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.

Задача №2810
Сложность: 44 %

Через точку \(O\) пересечения диагоналей параллелограмма \(ABCD\) проведена прямая, пересекающая стороны \(AB\) и \(CD\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Докажите, что \(AE = CF\).

Задача №2375
Сложность: 48 %

На сред­ней линии тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC вы­бра­ли про­из­воль­ную точку F. Докажите, что сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BFC и AFD равна по­ло­ви­не пло­ща­ди трапеции.

Задача №2194
Сложность: 50 %

Окружности с центрами в точках \(I\) и \(J\) не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная у этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении \(m:n\). Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как \(m:n\).

Задача №2758
Сложность: 53 %

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 3 и 12, BD = 6. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Задача №1761
Сложность: 60 %

В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOB.

Задача №3366
Сложность: 60 %

Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Докажите, что угол ACD прямой.

Задача №2707
Сложность: 62 %

Биссектрисы углов \(A\) и \(B\) параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(F\) стороны \(CD\). Докажите, что \(F\) - середина \(CD\).

Задача №2773
Сложность: 77 %

Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек. Внутрення общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a : b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a : b.

2019 ©, ИП Иванов Дмитрий Михайлович