« Сложные геометрические задачи»
Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Дан треугольник \(ABC\), высоты \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\) которого относятся как 6:4:3. Найдите длину меньшей стороны треугольника \(ABC\), если его периметр равен 99.
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 40, а площадь равна 80, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 14, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 110° и 100°.
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=9, MD=6, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
Окружности радиусов 14 и 35 касаются внешним образом. Точки \(A\) и \(B\) лежат на первой окружности, точки \(C\) и \(D\) — на второй. При этом \(AC\) и \(BD\) — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми \(AB\) и \(CD\).
Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 13, а средняя линия равна 7.
В выпуклом четырехугольнике \(ABCD\) диагональ \(AC\) является биссектрисой угла \(BAD\) и пересекается с диагональю \(BD \) в точке \(S\). Найдите \(AS\), если известно, что около четырехугольника \(ABCD\) можно описать окружность, \(BC=12\), \(SC=9\).
В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ AC является биссектрисой угла BAD и пересекается с диагональю BD в точке O. Найдите AO, если известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность, BC=20, OC=16.
В правильном шестиугольнике ABCDEF со стороной 1 найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 10 и 26, а основание BC равна 1. Биссектрисса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
На стороне \(BC\) остроугольного треугольника \(ABC\) (\(AB ≠ AC\)) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту \(AD\) в точке \(M\), \(AD = 90\), \(MD = 69\), \(H\) - точка пересечения высот треугольника \(ABC\). Найдите \(AH\).
Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18.
Запишите в ответ градусные меры этих углов по возрастанию через точку с запятой без пробелов.
В трапеции \(ABCD\) основания \(AD\) и \(BC\) равны соответственно \(34\) и \(2\), а сумма углов при основании \(AD\) равна \(90^{\circ}\). Найдите радиус окружности, проходящей через точки \(A\) и \(B\) и касающейся прямой \(CD\), если \(AB=24\).
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 1500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Углы при одном из оснований трапеции равны 70° и 20°. А отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны 20 и 17. Найдите основания трапеции.
В ответ запишите основания по возрастанию, через точку с запятой, без пробелов.
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площади ромба к площади параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 8.
Ответ запишите в виде несократимого отношения через двоеточие, например 4:13.
Две касающиеся внешним образом в точке \(K\) окружности, радиусы которых равны 31 и 32, касаются сторон угла с вершиной \(A\). Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку \(K\), пересекает стороны угла в точках \(B\) и \(C\). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\).
Основание \(AC\) равнобедренного треугольника \(ABC\) равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания \(AC\). Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник \(ABC\).
Углы при одном из оснований трапеции равны 80° и 10°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 20 и 17. Найдите основания трапеции.
Запишите их в ответ по возрастанию через точку с запятой без пробелов.