Задачи ЕГЭ профиль

Стереометрия


№6675

Радиус основания конуса равен 12, а высота конуса равна 5.
а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.
б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.

№6579

В правильной шестиугольной призме \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) сторона основания \(AB\) равна 4, а боковое ребро \(AA_1\) равно \(5\sqrt3\). На ребре \(DD_1\) отмечена точка \(M\) так, что \(DM:MD_1=3:2\). Плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(A_1F_1\) и проходит через точки \(M\) и \(E\).
а) Докажите, что сечение призмы \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) плоскостью \(\alpha\) – равнобедренная трапеция.
б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка \(F\), а основанием – сечение призмы \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) плоскостью \(\alpha\).

№6637

В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сторона основания \(AB\) равна \(3\), а боковое ребро \(AA_1\) равно \(\sqrt{3}\). На рёбрах \(C_1D_1\) и \(DD_1\) отмечены соответственно точки \(K\) и \(M\) так, что \(D_1K = KC_1\), а \(DM : MD_1 = 1 : 3\).

а) Докажите, что прямые \(MK\) и \(BK\) перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями \(BMK\) и \(ABB_1\).

№6403

Дана правильная треугольная пирамида SABC в которой AB=9, точка M лежит на ребре AB так, что AM=8. Точка K делит сторону SB так, что SK:KB=7:3. Ребро SA=√43.Точки M и K принадлежат плоскости α, которая перпендикулярна плоскости ABC.
а) Докажите, что точка С принадлежит плоскости α.
​б) Найдите площадь сечения α.

№5501

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F – середина ребра AS.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей SAD и BCF.
б) Найдите угол между плоскостями SAD и BCF.

№5452

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки \(B\), \(A_1\) и \(D_1\)
б) Найдите угол между плоскостями \(BA_1C_1\) и \(BA_1D_1\)

№5213

Основанием пирамиды TABCD является прямоугольник ABCD со сторонами AB=26 и BC=18. Все боковые рёбра пирамиды равны \(10\sqrt{5}\). На рёбрах AB и CD отмечены соответственно точки N и M так, что BN=DM=88/13. Через точки N и M проведена плоскость \(\alpha\), перпендикулярная ребру TA.
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) проходит через точку K - середину ребра TA.
б) Найдите расстояние между прямыми TC и KN.

№5471

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины ребер \(AB\), \(B_1C_1\), \(AD\).
б) Найдите угол между плоскостью \(A_1BD\) и плоскостью, проходящей через середины рёбер \(AB\), \(B_1C_1\), \(AD\).

№4202

Ребро \(SA\) пирамиды \(SABC\) перпендикулярно плоскости основания \(ABC\).

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер \(AB\), \(AC\) и \(SA\), отсекает от пирамиды \(SABC\) пирамиду, объём которой в 8 раз меньше объёма пирамиды\(SABC\).

б) Найдите расстояние от вершины\(A\) до этой плоскости, если\(SA=2\sqrt5\),\(AB=AC=10\),\(BC=4\sqrt5\).

№4721

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 4, а боковое ребро SA равно 5. На ребре SC отмечена точка K, причём SK:KC = 1:3. Плоскость \(\alpha\) содержит точку K и параллельна плоскости SAD.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью \(\alpha\) — трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка S, а основанием — сечение пирамиды SABCD плоскостью \(\alpha\).

2020 ©, ИП Иванов Дмитрий Михайлович