14. Стереометрия (Задачи ЕГЭ профиль)

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания – точка C₁, причём CC₁ – образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=45°, AB=3√2, CC₁=6.
а) Докажите, что угол между прямыми AC₁ и BC равен 60°.
б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC₁.

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:2. Плоскость \(\alpha\) содержит прямую KN и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и SBC.

В основании правильной треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник ABC со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 5. На ребре AD отмечена точка T так, что AT:TD=2:1. Через точку T параллельно прямым AC и BD проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
​б) Найдите площадь сечения.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро SA=14, а ребро AB=8. Точка М середина ребра AB. Плоскость α проходит через точки M и D и перпендикулярна плоскости ABC. Прямая SC пересекает плоскость α в точке K.
a) Докажите, что MK = KD.
б) Найдите обьем пирамиды MCDK.

Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причём A и C диаметрально противоположны. Точка M – середина BC.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB=6, BC=10 и SC=4√3

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 4. Точка K – середина ребра A₁B₁.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью AKC является равнобедренной трапецией.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости AKC.

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания равна 13, а боковое ребро АА₁=6. Точка К принадлежит ребру В₁С₁ и делит его в отношении 4:9, считая от вершины В₁.
а) Постройте сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки В, D и К.
​б) Найдите площадь этого сечения.

В пирамиде \(ABCD\) ребра \(DA\), \(DB\) и \(DC\) попарно перпендикулярны, а \(AB=BC=AC=6\sqrt2\).
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На ребрах \(DA\) и \(DC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причем \(DM:MA=DN:NC=2:1\). Найдите площадь сечения \(MNB\).

В пирамиде \(ABCD\) ребра \(DA\), \(DB\) и \(DC\) попарно перпендикулярны, а \(AB=BC=AC=14\).
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На ребрах \(DA\) и \(DC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причем \(DM:MA=DN:NC=6:1\). Найдите площадь сечения \(MNB\).

Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер AB, AC и SA, отсекает от пирамиды SABC пирамиду, объём которой в 8 раз меньше объёма пирамиды SABC.
б) Найдите расстояние от вершины A до этой плоскости, если SA=2√5, AB=AC=10, BC=4√5.