Задачи ЕГЭ профиль
Скрыть/развернуть все

« Стереометрия»


Задача №5213
Сложность: 30 % !

Основанием пирамиды TABCD является прямоугольник ABCD со сторонами AB=26 и BC=18. Все боковые рёбра пирамиды равны \(10\sqrt{5}\). На рёбрах AB и CD отмечены соответственно точки N и M так, что BN=DM=88/13. Через точки N и M проведена плоскость \(\alpha\), перпендикулярная ребру TA.
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) проходит через точку K - середину ребра TA.
б) Найдите расстояние между прямыми TC и KN.

Задача №5140
Сложность: 33 % !

Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD со сторонами AB=15 и BC=25. Все боковые рёбра пирамиды равны \(5\sqrt{17}\). На рёбрах AD и BC отмечены соответственно точки K и N так, что AK=CN=8. Через точки K и N проведена плоскость \(\alpha\), перпендикулярная ребру SB.
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) проходит через точку M - середину ребра SB.
б) Найдите расстояние между прямыми DS и KM.

Задача №4202
Сложность: 33 % !

Ребро \(SA\) пирамиды \(SABC\) перпендикулярно плоскости основания \(ABC\).

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер \(AB\), \(AC\) и \(SA\), отсекает от пирамиды \(SABC\) пирамиду, объём которой в 8 раз меньше объёма пирамиды \(SABC\).

б) Найдите расстояние от вершины \(A\) до этой плоскости, если \(SA=2\sqrt5\), \(AB=AC=10\), \(BC=4\sqrt5\).

Задача №5236
Сложность: 34 % !

Основание пирамиды \(SABC\) – равносторонний треугольник \(ABC\). Боковое ребро \(SA\) перпендикулярно плоскости основания, точки \(M\) и \(N\) - середины рёбер \(BC\) и \(AB\) соответственно, причём \(SN=AM\).
а) Докажите, что угол между прямыми \(AM\) и \(SN\) равен \(60°\).
​б) Найдите расстояние между этими прямыми, если \(BC=3\sqrt{2}\).

Задача №4670
Сложность: 37 % !

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причем AK:KB=SM:MC=1:5. Плоскость \(\alpha\) содержит прямую KM и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) параллельна прямой SA.
б) Найдите косинус угла между плоскостями \(\alpha\) и SBC.
 

Задача №4777
Сложность: 39 % !

В правильной треугольной усечённой пирамиде \(ABCA_1B_1C_1\) площадь нижнего основания \(ABC\) в четыре раза больше площади меньшего основания \(А_1B_1С_1.\) Через ребро \(AC\) проведена плоскость \(\alpha\), которая пересекает ребро \(BB_1\) в точке \(K\) и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.

а) Докажите, что точка \(K\) делит ребро \(BB_1\) в отношении \(7:1\), считая от точки \(B\).

б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью \(\alpha\), если высота пирамиды равна \(2\sqrt{2}\), а ребро меньшего основания равно \(2\sqrt{6}\).

Задача №4974
Сложность: 40 % !

Основанием пирамиды \(FABC\) является правильный треугольник \(ABC\) со стороной \(48\). Все боковые рёбра пирамиды равны \(40\). На рёбрах \(FB\) и \(FC\) отмечены соответственно точки \(K\) и \(N\) так, что \(FK=FN=10\). Через точки \(K\) и \(N\) проведена плоскость \(\alpha\), перпендикулярная плоскости \(ABC\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) делит медиану \(AM\) в отношении \(1:3\).
б) Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\).

Задача №4842
Сложность: 42 % !

Основанием пирамиды \(FABC\) является правильный треугольник \(ABC\) со стороной 36. Все боковые рёбра пирамиды равны 30. На рёбрах \(FB\) и \(FC\) отмечены соответственно точки \(K\) и \(N\) так, что \(BK=CN=20\). Через точки \(K\) и \(N\) проведена плоскость \(\alpha\), перпендикулярная плоскости \(ABC\).

а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) делит медиану \(AM\) в отношении \(2:7\).

б) Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(\alpha\).

Задача №4336
Сложность: 42 % !

В основании прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит равнобедренный  треугольник \(ABC\) с равными сторонами \(AB\) и \(BC\). Точки \(K\) и \(M\) — середины рёбер \(A_1B_1\) и \(AC\) соответственно.

а) Докажите, что \(KM=KB\).

б) Найдите угол между прямой \(KM\) и плоскостью \(ABB_1\), если \(AB=8\), \(AC=6\) и \(AA_1=3\).

Задача №2424
Сложность: 44 % !

В основании правильной четырехугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Противоположные боковые ребра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины ребер MA и MB проведена плоскость \(\alpha\), параллельная ребру MC.
а) Докажите, что сечение плоскостью \(\alpha\) пирамиды MABC является параллелограммом.
б) Найдите площадь сечения пирамиды MABC плоскостью \(\alpha\).

2020 ©, ИП Иванов Дмитрий Михайлович