Задачи ЕГЭ профиль

Стереометрия


№5501

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F – середина ребра AS.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей SAD и BCF.
б) Найдите угол между плоскостями SAD и BCF.

№6389

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро SA=14, а ребро AB=8. Точка М середина ребра AB. Плоскость α проходит через точки M и D и перпендикулярна плоскости ABC. Прямая SC пересекает плоскость α в точке K.
a) Докажите, что MK = KD.
б) Найдите обьем пирамиды MCDK.

№6396

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB=4, а боковое ребро SA=7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM=SK=1.
а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.

№6619

В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сторона основания \(AB\) равна \(2\sqrt3\), а боковое ребро \(AA_1\) равно \(3\). На рёбрах \(A_1D_1\) и \(DD_1\) отмечены соответственно точки \(K\) и \(M\) так, что \(A_1K=KD_1\), а \(DM:MD_1=2:1\).
а) Докажите, что прямые \(MK\) и \(BK\) перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями \(BMK\) и \(BCC_1\).

№6637

В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сторона основания \(AB\) равна \(3\), а боковое ребро \(AA_1\) равно \(\sqrt{3}\). На рёбрах \(C_1D_1\) и \(DD_1\) отмечены соответственно точки \(K\) и \(M\) так, что \(D_1K = KC_1\), а \(DM : MD_1 = 1 : 3\).

а) Докажите, что прямые \(MK\) и \(BK\) перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями \(BMK\) и \(ABB_1\).

№6557

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 8, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причем AM = 2, SK = 1. Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и K.

а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) содержит точку C.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью \(\alpha\).

№6403

Дана правильная треугольная пирамида SABC в которой AB=9, точка M лежит на ребре AB так, что AM=8. Точка K делит сторону SB так, что SK:KB=7:3. Ребро SA=√43.Точки M и K принадлежат плоскости α, которая перпендикулярна плоскости ABC.
а) Докажите, что точка С принадлежит плоскости α.
​б) Найдите площадь сечения α.

№5452

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки \(B\), \(A_1\) и \(D_1\)
б) Найдите угол между плоскостями \(BA_1C_1\) и \(BA_1D_1\)

№4061

В пирамиде \(ABCD\) ребра \(DA\), \(DB\) и \(DC\) попарно перпендикулярны, а \(AB=BC=AC=14\).
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На ребрах \(DA\) и \(DC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причем \(DM:MA=DN:NC=6:1\). Найдите площадь сечения \(MNB\).

№4670

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причем AK:KB=SM:MC=1:5. Плоскость \(\alpha\) содержит прямую KM и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) параллельна прямой SA.
б) Найдите косинус угламежду плоскостями \(\alpha\) и SBC.

2021 ©, ИП Иванов Дмитрий Михайлович