17. Планиметрия (Задачи ЕГЭ профиль)

На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM=MC.
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если AB=5, BC=10, ∠BAD=60°.

В четырёхугольник KLMN вписана окружность с центром O. Эта окружность касается стороны MN в точке A. Известно, что ∠MNK=90°, ∠NKL=∠KLM=120°.
а) Докажите, что точка A лежит на прямой LO.
б) Найдите длину стороны MN, если LA=1.

Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC – диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB.
б) Найдите длину отрезка NO, если известно, что AC=10 и AB=24.

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC.
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины C до середины диагонали BD, если AD=15 и AC=2√61.

Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=3:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ=16, QW=12, угол PWQ — острый.
а) Докажите, что треугольник PQW — прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

Окружность проходит через вершины A, B и C параллелограмма ABCD, пересекает продолжение стороны AD за точку D в точке E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K.
а) Докажите, что BK=BE.
б) Найдите отношение KE:AC, если ∠BAD=30°.

Сумма оснований трапеции равна 10, а её диагонали равны 6 и 8.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC.\) Диагональ \(BD\) разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями \(AD\) и \(CD.\)
а) Докажите, что луч \(AC\) — биссектриса угла \(BAD.\)
б) Найдите \(CD\), если известны диагонали трапеции: \(AC=12\) и \(BD=6{,}5\)

Дана трапеция ABCD  с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.
а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC=15, BD=8,5.

Точки P, K, N делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении AP:PB=CK:KB=CN:ND=1:4. Радиус описанной около треугольника PKN окружности равен 10, PK=16, KN=12, угол PNK острый.
а) Докажите, что треугольник PKN прямоугольный.
б) Найдите площадь четырехугольника ABCD.