Задачи ЕГЭ профиль
Скрыть/развернуть все

« Планиметрия»


№5399

На гипотенузе AB и катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки М, N и К соответственно, причём прямая NK параллельна прямой AB и BM=BN=KN/2. Точка Р - середина отрезка KN.

а) Докажите, что четырёхугольник BCPM - равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если BM=2 и угол BCM=30°

№5922

Около остроугольного треугольника ABC  с различными сторонами описали окружность с диаметром BN. Высота BH пересекает эту окружность в точке K.
а) Докажите, что  AN=CK.
б) Найдите KN, если угол BAC равен 35°, угол ACB равен 65°, а радиус окружности равен 12.

№5272

На гипотенузе \(AB\) и катетах \(BC\) и \(AC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) отмечены точки \(M\), \(N\) и \(K\) соответственно, причём прямая \(NK\) параллельна прямой \(AB\) и \(BM=BN=\dfrac{1}{2}KN\). Точка \(Р\) - середина отрезка \(KN\).

а) Докажите, что четырёхугольник \(BCPM\) - равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(BM=1\) и \(\angle BCM=15°\)

№4678

Точка \(О\) — центр вписанной в треугольник \(ABC\) окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(Р\).

а) Докажите, что \(\angle POA = \angle PAO\).

б) Найдите площадь треугольника \(АРО\), если радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности равен \(6\), углы \(BAC = 75°\), \(ABC = 60°\).

№5233

В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD - диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AD=CF.
б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 12,  угол BAC=35°, угол ACB=65°.

№4844

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC=10\) и \(AB=BC=14\).
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне \(AC\), пересекает окружность, вписанную в треугольник \(ABC\).
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне \(AC\).

Ответ запишите в виде несократимого отношения без пробелов, например "4:13:5".

№1072

Высоты тупоугольного треугольника \(ABC\) с тупым углом \(ABC\) пересекаются в точке \(H\). Угол \(AHC\) равен 60°.

а) Докажите, что угол \(ABC\) равен 120°.

б) Найдите \(BH\), если \(AB=7\), \(BC=8\).

№4723

Точка \(O\) — центр вписанной в треугольник \(ABC\) окружности. Прямая \(BO\) вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(E\).
а) Докажите, что углы \(\angle EOC = \angle ECO\).
б) Найдите площадь треугольника \(ACE\), если радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности равен \(6\sqrt{3}\), угол \(ABC = 60°\).

№5921

В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причем  CM=BC и CN=AC. Отрезки CP и CQ – биссектрисы треугольников ACB и NCM соответственно.
а) Докажите, что CP и CQ перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если BC=3, а AC=5. 

№5868

В треугольнике ABC угол A равен 120°. Прямые, содержащие высоты BM и CN треугольника ABC, пересекаются в точке H . Точка O - центр окружности, описанной около треугольника ABC .
а) Докажите, что AH=AO
б) Найдите площадь треугольника AHO , если BC=√15, угол ABC=45°

2020 ©, ИП Иванов Дмитрий Михайлович