18. Планиметрия (Задачи ЕГЭ профиль)

На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка M такая, что AM=MC.
а) Докажите, что центр вписанной в треугольник AMD окружности лежит на диагонали AC.
б) Найдите радиус вписанной в треугольник AMD окружности, если AB=5, BC=10, ∠BAD=60°.

Окружность проходит через вершины A, B и C параллелограмма ABCD, пересекает продолжение стороны AD за точку D в точке E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K.
а) Докажите, что BK=BE.
б) Найдите отношение KE:AC, если ∠BAD=30°.

Окружность с центром в точке O касается сторон угла с вершиной N в точках A и B. Отрезок BC – диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямая AC параллельна биссектрисе угла ANB.
б) Найдите длину отрезка NO, если известно, что AC=10 и AB=24.

В треугольнике ABC угол ACB равен 30°, отрезки AH и AM – высота и медиана соответственно, причём точка H лежит на отрезке BM. Отрезок MQ – высота треугольника AMC, а прямые AH и MQ пересекаются в точке F. Известно, что луч AM – биссектриса угла CAH.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника CMF, если AB=8.

Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=3:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ=16, QW=12, угол PWQ — острый.
а) Докажите, что треугольник PQW — прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.

Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC.\) Диагональ \(BD\) разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями \(AD\) и \(CD.\)
а) Докажите, что луч \(AC\) — биссектриса угла \(BAD.\)
б) Найдите \(CD\), если известны диагонали трапеции: \(AC=12\) и \(BD=6{,}5\)

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC.
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины C до середины диагонали BD, если AD=15 и AC=2√61.

Сумма оснований трапеции равна 13, а её диагонали равны 5 и 12.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.

Высоты тупоугольного треугольника ABC с тупым углом ABC пересекаются в точке H. Угол AHC равен 60°.
а) Докажите, что угол ABC равен 120°.
б) Найдите BH, если AB=6, BC=10.

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC = CD.
а) Докажите, что AB : BC = AP : PD.
б) Найдите площадь треугольника COD, где O - центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD - диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = \(5\), а BC = \(5\sqrt{2}\).