Задачи ЕГЭ профиль
Скрыть/развернуть все

« Планиметрия»


Задача №4723
Сложность: 22 % !

Точка \(O\) — центр вписанной в треугольник \(ABC\) окружности. Прямая \(BO\) вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(E\).
а) Докажите, что углы \(\angle EOC = \angle ECO\).
б) Найдите площадь треугольника \(ACE\), если радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности равен \(6\sqrt{3}\), угол \(ABC = 60°\).

Задача №4344
Сложность: 22 % !

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN:BC=2:5, а BN=14.

Задача №4678
Сложность: 30 % !

Точка \(О\) — центр вписанной в треугольник \(ABC\) окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(Р\).

а) Докажите, что \(\angle POA = \angle PAO\).

б) Найдите площадь треугольника \(АРО\), если радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности равен \(6\), углы \(BAC = 75°\), \(ABC = 60°\).

Задача №4227
Сложность: 32 % !

Сторона \(CD\) прямоугольника \(ABCD\) касается некоторой окружности в точке \(M\). Продолжение стороны \(AD\) пересекает эту окружность в точках \(P\) и \(Q\), причем точка \(P\) лежит между точками \(D\) и \(Q\). Прямая \(BC\) касается окружности, а точка \(Q\) лежит на прямой \(BM\).

а) Докажите, что \(\angle DMP=\angle CBM\).

б) Известно, что \(CM=17\) и \(CD=25\). Найдите сторону \(AD\).

Задача №4976
Сложность: 36 % !

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC=26\) и \(AB=BC=38\).
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне \(AC\), пересекает окружность, вписанную в треугольник \(ABC\).
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне \(AC\).

Задача №4807
Сложность: 50 % !

Окружность проходит через вершины \(A\), \(B\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\), пересекает сторону \(BC\) в точках \(B\) и \(M\), а также пересекает продолжение стороны \(CD\) за точку \(D\) в точке \(N\).
а) Докажите, что \(AM=AN\).
б) Найдите отношение \(CD:DN\), если \(AB:BC = 1:3\), а \(\cos\angle BAD=0{,}4\).

Ответ запишите в виде несократимого отношения без пробелов, например "4:13".

Задача №4826
Сложность: 52 % !

Окружность проходит через вершины \(A\), \(B\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\), пересекает сторону \(BC\) в точках \(B\) и \(M\), а также пересекает продолжение стороны \(CD\) за точку \(D\) в точке \(N\).

а) Докажите, что \(AM=AN\)

б) Найдите отношение \(CD:DN\), если \(AB:BC=2:3\), а \(\cos\angle BAD=0{,}7\)

Ответ запишите в виде несократимого отношения без пробелов, например "4:13".

Задача №4844
Сложность: 52 % !

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC=10\) и \(AB=BC=14\).
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне \(AC\), пересекает окружность, вписанную в треугольник \(ABC\).
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне \(AC\).

Ответ запишите в виде несократимого отношения без пробелов, например "4:13:5".

Задача №1072
Сложность: 53 % !

Высоты тупоугольного треугольника \(ABC\) с тупым углом \(ABC\) пересекаются в точке \(H\). Угол \(AHC\) равен 60°.

а) Докажите, что угол \(ABC\) равен 120°.

б) Найдите \(BH\), если \(AB=7\), \(BC=8\).

Задача №5215
Сложность: 53 % !

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=12. Известно, что AB=BC=CD=18.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите AD.

2020 ©, ИП Иванов Дмитрий Михайлович