а) Решите уравнение \(6\log^2_{27}{x}+5\log_{27}{x}+1=0\)
б) Укажите корни этого уравнения, которые больше 0,3.
Александр
Стаж: 5 лет 27 дней
Баллы: 12362 (Легенда)
#1963: Сложные уравнения №5693
Условие
Пусть \(t=\log_{27}{x}\), получаем уравнение:
\(6t^2+5t+1=0\)
\(D=5^2-4\cdot 6\cdot 1=25-24=1\)
\(t_1=\dfrac{-5+1}{12}=-\dfrac{4}{12}=-\dfrac{1}{3}\)
\(t_2=\dfrac{-5-1}{12}=-\dfrac{6}{12}=-\dfrac{1}{2}\)
Обратная подстановка:
1. \(\log_{27}{x}=-\dfrac{1}{3}\)
\(x=27^{-\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{27}}=\dfrac{1}{3}\approx 0{,}333\)
2. \(\log_{27}{x}=-\dfrac{1}{2}\)
\(x=\dfrac{1}{\sqrt{27}}=\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\)
б)
1. \(\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{30}>0{,}3=\dfrac{3}{10}\)
2. \(\dfrac{3}{10}=\dfrac{27}{90}\)
\(\dfrac{1}{3\sqrt{3}}=\dfrac{1\cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{9}=\dfrac{10\sqrt{3}}{90}\)
Даже если округлить корень в бОльшую сторону: \(\dfrac{10\sqrt{4}}{90}=\dfrac{20}{90}\), то он всё равно будет меньше чем \(\dfrac{27}{90}\) => \(\dfrac{1}{3\sqrt{3}}<\dfrac{3}{10}\)