Сайт подготовки к экзаменам Uchus.online

Задачи ЕГЭ профиль

13. Стереометрия (Задачи ЕГЭ профиль)

Дана правильная четырехугольная призма \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). На ребре \(AA_1\) отмечена точка \(K\) так, что \(AK:KA_1=1:2\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(B\), \(K\) параллельно прямой \(AC\). Эта плоскость пересекает ребро \(DD_1\) в точке \(M\).

а) Докажите, что \(MD:MD_1=2:1\).

б) Найдите площадь сечения, если \(AB=4\), \(AA_1=6\).

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки \(B\), \(A_1\) и \(D_1\)
б) Найдите угол между плоскостями \(BA_1C_1\) и \(BA_1D_1\)

Ребро \(SA\) пирамиды \(SABC\) перпендикулярно плоскости основания \(ABC\).

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер \(AB\), \(AC\) и \(SA\), отсекает от пирамиды \(SABC\) пирамиду, объём которой в 8 раз меньше объёма пирамиды\(SABC\).

б) Найдите расстояние от вершины\(A\) до этой плоскости, если\(SA=2\sqrt5\),\(AB=AC=10\),\(BC=4\sqrt5\).

В основании четырехугольной пирамиды \(SABCD\) лежит прямоугольник \(ABCD\) со сторонами \(AB=8\) и \(BC=6\). Длины боковых ребер пирамиды \(SA=\sqrt{21}\), \(SB=\sqrt{85}\), \(SD=\sqrt{57}\).
а) Докажите, что \(SA\) – высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми \(SC\) и \(BD\).

В пирамиде \(ABCD\) ребра \(DA\), \(DB\) и \(DC\) попарно перпендикулярны, а \(AB=BC=AC=14\).
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На ребрах \(DA\) и \(DC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причем \(DM:MA=DN:NC=6:1\). Найдите площадь сечения \(MNB\).

В основании прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит равнобедренный треугольник \(ABC\) с равными сторонами \(AB\) и \(BC\). Точки \(K\) и \(M\) — середины рёбер \(A_1B_1\) и \(AC\) соответственно.

а) Докажите, что \(KM=KB\).

б) Найдите угол между прямой \(KM\) и плоскостью \(ABB_1\), если \(AB=8\), \(AC=6\) и \(AA_1=3\).

В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сторона основания равна 13, а боковое ребро \(АА_1 = 6\). Точка К принадлежит ребру \(В_1 С_1\) и делит его в отношении 4:9, считая от вершины \(В_1\).
а) Постройте сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки В, D и К.
​б) Найдите площадь этого сечения.

Все рёбра правильной треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\)имеют длину 6. Точки \(M\) и \(N\) - середины рёбер \(AA_1\) и \(A_1C_1\) соответственно.
а) Докажите, что прямые \(BM\) и \(MN\) перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями \(BMN\) и \(ABB_{1}\).

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причем AK:KB=SM:MC=1:5. Плоскость \(\alpha\) содержит прямую KM и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) параллельна прямой SA.
б) Найдите косинус угла между плоскостями \(\alpha\) и SBC.

Основанием пирамиды \(FABC\) является правильный треугольник \(ABC\) со стороной \(48\). Все боковые рёбра пирамиды равны \(40\). На рёбрах \(FB\) и \(FC\) отмечены соответственно точки \(K\) и \(N\) так, что \(FK=FN=10\). Через точки \(K\) и \(N\) проведена плоскость \(\alpha\), перпендикулярная плоскости \(ABC\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) делит медиану \(AM\) в отношении \(1:3\).
б) Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\).

Загрузка...
ВИДЕОКУРС по задаче 13 ЕГЭ:
Открыть
Загрузка...