Сайт подготовки к экзаменам Uchus.online

Задачи ЕГЭ профиль

Стереометрия

В пирамиде \(ABCD\) ребра \(DA\), \(DB\) и \(DC\) попарно перпендикулярны, а \(AB=BC=AC=14\).
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На ребрах \(DA\) и \(DC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причем \(DM:MA=DN:NC=6:1\). Найдите площадь сечения \(MNB\).

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:3.Плоскость \(\alpha\) содержит прямую KN и параллельна прямой BC .
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и SBC .

В основании прямой треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит равнобедренный треугольник \(ABC\) с равными сторонами \(AB\) и \(BC\). Точки \(K\) и \(M\) — середины рёбер \(A_1B_1\) и \(AC\) соответственно.

а) Докажите, что \(KM=KB\).

б) Найдите угол между прямой \(KM\) и плоскостью \(ABB_1\), если \(AB=8\), \(AC=6\) и \(AA_1=3\).

В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сторона основания равна 13, а боковое ребро \(АА_1 = 6\). Точка К принадлежит ребру \(В_1 С_1\) и делит его в отношении 4:9, считая от вершины \(В_1\).
а) Постройте сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки В, D и К.
​б) Найдите площадь этого сечения.

Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD со сторонами AB=15 и BC=25. Все боковые рёбра пирамиды равны \(5\sqrt{17}\). На рёбрах AD и BC отмечены соответственно точки K и N так, что AK=CN=8. Через точки K и N проведена плоскость \(\alpha\), перпендикулярная ребру SB.
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) проходит через точку M – середину ребра SB.
б) Найдите расстояние между прямыми DS и KM.

Все рёбра правильной треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\)имеют длину 6. Точки \(M\) и \(N\) - середины рёбер \(AA_1\) и \(A_1C_1\) соответственно.
а) Докажите, что прямые \(BM\) и \(MN\) перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями \(BMN\) и \(ABB_{1}\).

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причем AK:KB=SM:MC=1:5. Плоскость \(\alpha\) содержит прямую KM и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) параллельна прямой SA.
б) Найдите косинус угла между плоскостями \(\alpha\) и SBC.

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки \(B\), \(A_1\) и \(D_1\)
б) Найдите угол между плоскостями \(BA_1C_1\) и \(BA_1D_1\)

Основанием пирамиды TABCD является прямоугольник ABCD со сторонами AB=26 и BC=18. Все боковые рёбра пирамиды равны \(10\sqrt{5}\). На рёбрах AB и CD отмечены соответственно точки N и M так, что BN=DM=88/13. Через точки N и M проведена плоскость \(\alpha\), перпендикулярная ребру TA.
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) проходит через точку K - середину ребра TA.
б) Найдите расстояние между прямыми TC и KN.

Ребро \(SA\) пирамиды \(SABC\) перпендикулярно плоскости основания \(ABC\).

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер \(AB\), \(AC\) и \(SA\), отсекает от пирамиды \(SABC\) пирамиду, объём которой в 8 раз меньше объёма пирамиды\(SABC\).

б) Найдите расстояние от вершины\(A\) до этой плоскости, если\(SA=2\sqrt5\),\(AB=AC=10\),\(BC=4\sqrt5\).

Загрузка...
ВИДЕОКУРС по задаче 13 ЕГЭ:
Открыть
Загрузка...