Задачи ЕГЭ профиль
Скрыть/развернуть все

« Стереометрия»


№6389

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро SA=14, а ребро AB=8. Точка М середина ребра AB. Плоскость α проходит через точки M и D и перпендикулярна плоскости ABC. Прямая SC пересекает плоскость α в точке K.
a) Докажите, что MK = KD.
б) Найдите обьем пирамиды MCDK.

№5501

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCDвсе рёбра равны 1. Точка F – середина ребра AS.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей SADи BCF.
б) Найдите угол между плоскостями SADи BCF.

№5471

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середины ребер \(AB\), \(B_1C_1\), \(AD\).
б) Найдите угол между плоскостью \(A_1BD\)и плоскостью, проходящей через середины рёбер \(AB\), \(B_1C_1\), \(AD\).

№4777

В правильной треугольной усечённой пирамиде \(ABCA_1B_1C_1\)площадь нижнего основания \(ABC\)в четыре раза больше площади меньшего основания \(А_1B_1С_1.\) Через ребро \(AC\)проведена плоскость \(\alpha\), которая пересекает ребро \(BB_1\) в точке \(K\)и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.

а) Докажите, что точка \(K\)делит ребро \(BB_1\) в отношении \(7:1\), считая от точки \(B\).

б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью \(\alpha\), если высота пирамиды равна \(2\sqrt{2}\), а ребро меньшего основания равно \(2\sqrt{6}\).

№4061

В пирамиде \(ABCD\) ребра \(DA\), \(DB\) и \(DC\) попарно перпендикулярны, а \(AB=BC=AC=14\).
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На ребрах \(DA\) и \(DC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причем \(DM:MA=DN:NC=6:1\). Найдите площадь сечения \(MNB\).

№5866

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN:NC=SK:KC=1:3.Плоскость \(\alpha\)содержит прямую KN и параллельна прямой BC .
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\)параллельна прямой SA.
б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\)и SBC .

№5140

Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCDсо сторонами AB=15 и BC=25. Все боковые рёбра пирамиды равны \(5\sqrt{17}\). На рёбрах ADи BCотмечены соответственно точки Kи Nтак, что AK=CN=8. Через точки Kи Nпроведена плоскость \(\alpha\), перпендикулярная ребру SB.
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\)проходит через точку M-середину ребра SB.
б) Найдите расстояние между прямыми DSи KM.

№3893

Все рёбра правильной треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\)имеют длину 6. Точки \(M\) и \(N\) - середины рёбер \(AA_1\)и\(A_1C_1\) соответственно.
а) Докажите, что прямые \(BM\) и \(MN\) перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями \(BMN\) и \(ABB_{1}\).

№4670

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причем AK:KB=SM:MC=1:5. Плоскость \(\alpha\) содержит прямую KM и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) параллельна прямой SA.
б) Найдите косинус угламежду плоскостями \(\alpha\) и SBC.

№5213

Основанием пирамиды TABCD является прямоугольник ABCDсо сторонами AB=26 и BC=18. Все боковые рёбра пирамиды равны \(10\sqrt{5}\). На рёбрах ABи CDотмечены соответственно точки Nи Mтак, что BN=DM=88/13. Через точки Nи Mпроведена плоскость \(\alpha\), перпендикулярная ребру TA.
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\)проходит через точку K-середину ребра TA.
б) Найдите расстояние между прямыми TCи KN.

2020 ©, ИП Иванов Дмитрий Михайлович