Задачи ЕГЭ профиль
Скрыть/развернуть все

« Стереометрия»


№5213

Основанием пирамиды TABCD является прямоугольник ABCD со сторонами AB=26 и BC=18. Все боковые рёбра пирамиды равны \(10\sqrt{5}\). На рёбрах AB и CD отмечены соответственно точки N и M так, что BN=DM=88/13. Через точки N и M проведена плоскость \(\alpha\), перпендикулярная ребру TA.
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) проходит через точку K - середину ребра TA.
б) Найдите расстояние между прямыми TC и KN.

№4721

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 4, а боковое ребро SA равно 5. На ребре SC отмечена точка K, причём SK:KC = 1:3. Плоскость \(\alpha\) содержит точку K и параллельна плоскости SAD.
а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью \(\alpha\) — трапеция.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка S, а основанием — сечение пирамиды SABCD плоскостью \(\alpha\).

№4974

Основанием пирамиды \(FABC\) является правильный треугольник \(ABC\) со стороной \(48\). Все боковые рёбра пирамиды равны \(40\). На рёбрах \(FB\) и \(FC\) отмечены соответственно точки \(K\) и \(N\) так, что \(FK=FN=10\). Через точки \(K\) и \(N\) проведена плоскость \(\alpha\), перпендикулярная плоскости \(ABC\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) делит медиану \(AM\) в отношении \(1:3\).
б) Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\).

№4202

Ребро \(SA\) пирамиды \(SABC\) перпендикулярно плоскости основания \(ABC\).

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер \(AB\), \(AC\) и \(SA\), отсекает от пирамиды \(SABC\) пирамиду, объём которой в 8 раз меньше объёма пирамиды \(SABC\).

б) Найдите расстояние от вершины \(A\) до этой плоскости, если \(SA=2\sqrt5\), \(AB=AC=10\), \(BC=4\sqrt5\).

№4061

В пирамиде \(ABCD\) ребра \(DA\), \(DB\) и \(DC\) попарно перпендикулярны, а \(AB=BC=AC=14\).
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На ребрах \(DA\) и \(DC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причем \(DM:MA=DN:NC=6:1\). Найдите площадь сечения \(MNB\).

№3893

Все рёбра правильной треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) имеют длину 6. Точки \(M\) и \(N\) - середины рёбер \(AA_1\) и \(A_1C_1\) соответственно.
а) Докажите, что прямые \(BM\) и \(MN\) перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями \(BMN\) и \(ABB_{1}\).

№4670

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причем AK:KB=SM:MC=1:5. Плоскость \(\alpha\) содержит прямую KM и параллельна прямой BC.
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) параллельна прямой SA.
б) Найдите косинус угла между плоскостями \(\alpha\) и SBC.
 

№5236

Основание пирамиды \(SABC\) – равносторонний треугольник \(ABC\). Боковое ребро \(SA\) перпендикулярно плоскости основания, точки \(M\) и \(N\) - середины рёбер \(BC\) и \(AB\) соответственно, причём \(SN=AM\).
а) Докажите, что угол между прямыми \(AM\) и \(SN\) равен \(60°\).
​б) Найдите расстояние между этими прямыми, если \(BC=3\sqrt{2}\).

№4477

В основании правильной пирамиды PABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Сечение пирамиды проходит через вершину В и середину ребра PD перпендикулярно этому ребру.
а) Докажите, что угол наклона бокового ребра пирамиды к её основанию равен 60°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды.

№4822

В правильной треугольной усечённой пирамиде \(ABCA_1B_1C_1\) площадь нижнего основания \(ABC\) в девять раз больше площади меньшего основания \(A_1B_1C_1\). Через ребро \(AB\) проведена плоскость \(\alpha\), которая пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(N\) и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.

а) Докажите, что точка \(N\) делит ребро \(CC_1\) в отношении \(5 : 13\), считая от точки \(C_1\).

б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью \(\alpha\), если высота пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.

2020 ©, ИП Иванов Дмитрий Михайлович