14. Стереометрия (Задачи ЕГЭ профиль)

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания – точка C₁, причём CC₁ – образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ∠ACB=45°, AB=3√2, CC₁=6.
а) Докажите, что угол между прямыми AC₁ и BC равен 60°.
б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC₁.

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро SA=14, а ребро AB=8. Точка М середина ребра AB. Плоскость α проходит через точки M и D и перпендикулярна плоскости ABC. Прямая SC пересекает плоскость α в точке K.
a) Докажите, что MK = KD.
б) Найдите обьем пирамиды MCDK.

Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причём A и C диаметрально противоположны. Точка M – середина BC.
а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB=6, BC=10 и SC=4√3

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F – середина ребра SB, G – середина ребра SC.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABG и GDF.
б) Найдите угол между плоскостями ABG и GDF.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки B, A₁ и D₁
б) Найдите угол между плоскостями BA₁C₁ и BA₁D₁

В пирамиде \(ABCD\) ребра \(DA\), \(DB\) и \(DC\) попарно перпендикулярны, а \(AB=BC=AC=7\sqrt2\).
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На ребрах \(DA\) и \(DC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причем \(DM:MA=DN:NC=4:3\). Найдите площадь сечения \(MNB\).

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания равна 13, а боковое ребро АА₁=6. Точка К принадлежит ребру В₁С₁ и делит его в отношении 4:9, считая от вершины В₁.
а) Постройте сечение этой призмы плоскостью, проходящей через точки В, D и К.
​б) Найдите площадь этого сечения.

В пирамиде \(ABCD\) ребра \(DA\), \(DB\) и \(DC\) попарно перпендикулярны, а \(AB=BC=AC=6\sqrt2\).
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На ребрах \(DA\) и \(DC\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причем \(DM:MA=DN:NC=2:1\). Найдите площадь сечения \(MNB\).

В правильной треугольной пирамиде \(DABC\) со стороной основания \(AB\), равной 30, боковое ребро равно 20. Точки \(N\) и \(M\) делят рёбра \(DA\) и \(DB\) в отношении \(2:1\), считая от вершины \(D\). Плоскость \(\alpha\), содержащая прямую \(MN\), перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) делит высоту \(CE\) основания в отношении \(8:1\), считая от точки \(C\).

б) Найдите площадь сечения пирамиды \(DABC\) плоскостью \(\alpha\).

Дана пирамида \(SABC\), в которой \(SC=SB=AB=AC=\sqrt{17}\), \(SA=BC=2\sqrt5.\)
а) Докажите, что ребро \(SA\) перпендикулярно ребру \(BC.\)
б) Найдите квадрат расстояния между ребрами \(BC\) и \(SA.\)