9.2. Задачи с показательными и логарифмическими выражениями (Задачи ЕГЭ профиль)

Водолазный колокол, содержащий \(\nu= 2\) моля воздуха при давлении \(p_1 = 1{,}5\) атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \(p_2\). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \(A = \alpha \nu T\log_{2}{\dfrac{p_2}{p_1}}\), где \(\alpha = 5{,}75\) - постоянная, \(T = 300\,K\) - температура воздуха. Найдите, какое давление \(p_2\) (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в \(6900\) Дж.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(m=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}\), где \(m_0\) – начальная масса изотопа, \(t\) – время, прошедшее от начального момента, \(T\) – период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа \(80\; мг\). Период его полураспада составляет 15 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 10 мг.

Водолазный колокол, содержащий \(\nu=3\) моля воздуха при давлении \(p_1=1{,}2\) атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \(p_2\). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \(A=\alpha \nu T \log_2{\dfrac{p_2}{p_1}}\), где \(\alpha=9{,}15\, \dfrac{Дж}{моль\cdot К}\) – постоянная, \(T=300\, К\) – температура воздуха. Найдите, какое давление \(p_2\) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в \(16470\, Дж\).

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса \(m\) (в мг) уменьшается по закону \(m=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}\), где \(m_0\) – начальная масса изотопа, \(t\) – время (в минутах), прошедшее от начального момента, \(T\) – период полураспада (в минутах). В начальный момент времени масса изотопа 20 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени \(\nu=3\) моля воздуха объёмом \(V_1=18 л\), медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма \(V_2\). Работа, совершаемая водой при изотермическом сжатии, вычисляется по формуле \(A = a\nu T\log_{2}{\frac{V_1}{V_2}}\), где \(a = 13{,}2\) Дж/моль⋅К - постоянная, а \(T = 300 K\) —температура воздуха. Найдите, какой объём \(V_2\) (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в 23760 Дж.

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре \(C = 3 \cdot 10^{-6}\) Ф. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением \(R = 5 \cdot 10^{6}\) Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе \(U_{0} = 9\) кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения \(U\) (кВ) за время, определяемое выражением \(t = \alpha RC \log_{2}{\dfrac{U_{0}}{U}}\) (с), где \(\alpha = 1{,}1\) - постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 33 секунды. Ответ дайте в кВ (киловольтах).

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(m(t)=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}\), где \(m_0\) (мг) - начальная масса изотопа, \(t\) (мин.) - время, прошедшее от начального момента, \(T\) (мин.) - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа \(m_0=50\) мг. Период его полураспада \(T=5\) мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг?

Водолазный колокол, содержащий \(\nu=3\) моля воздуха при объём \(V_1=32\,л\) , медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма \(V_2\). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \(A=\alpha \nu T \log_2{\dfrac{V_1}{V_2}}\), где \(\alpha=11{,}5\, \dfrac{Дж}{моль\cdot К}\) – постоянная, \(T=200\, К\) – температура воздуха. Какой объём \(V_2\) в литрах станет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в \(20700\, Дж\).

Масса топлива - \(M\) тонн, необходимая для того, чтобы придать ракете нужную скорость \(v\) м/с зависит от массы ракеты - \(m\) тонн (без топлива) и скорости \(v_0\) м/с, с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя и вычисляется по формуле \(M = m(3^{\frac{v}{v_0} }- 1)\). До какой максимальной скорости (в м/с) можно разогнать ракету весом \(m = 1{,}2\) т при скорости истечения газов \(v_0 = 1500 м/с\), если она способна нести не больше 31,2 т топлива?

В телевизоре емкость высоковольтного конденсатора \(C=5 \cdot 10^{-6} \,Ф\). Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением \(R=4\cdot 10^6\, Ом\). Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе \(U_0= 12 \,кВ\). После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения \(U\) (кВ) за время, определяемое выражением \(t=\alpha R C \log_2 \dfrac{U_0}{U}\, (с)\), где \(\alpha = 1{,}4\) − постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 28 с. Ответ дайте в киловольтах.