9.2. Задачи с показательными и логарифмическими выражениями (Задачи ЕГЭ профиль)

Водолазный колокол, содержащий \(\nu=3\) моля воздуха при давлении \(p_1=1{,}2\) атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \(p_2\). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \(A=\alpha \nu T \log_2{\dfrac{p_2}{p_1}}\), где \(\alpha=9{,}15\, \dfrac{Дж}{моль\cdot К}\) – постоянная, \(T=300\, К\) – температура воздуха. Найдите, какое давление \(p_2\) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в \(16470\, Дж\).

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(m(t)=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}\), где \(m_0\) (мг) - начальная масса изотопа, \(t\) (мин.) - время, прошедшее от начального момента, \(T\) (мин.) - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа \(m_0=50\) мг. Период его полураспада \(T=5\) мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг?

Масса топлива - \(M\) тонн, необходимая для того, чтобы придать ракете нужную скорость \(v\) м/с зависит от массы ракеты - \(m\) тонн (без топлива) и скорости \(v_0\) м/с, с которой продукты горения вытекают из ракетного двигателя и вычисляется по формуле \(M = m(3^{\frac{v}{v_0} }- 1)\). До какой максимальной скорости (в м/с) можно разогнать ракету весом \(m = 1{,}2\) т при скорости истечения газов \(v_0 = 1500 м/с\), если она способна нести не больше 31,2 т топлива?

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора \(C = 6⋅10^{-6}\, Ф\). Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением \(R = 6⋅10^{6}\, Ом\). Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе \(U_0=26\, кВ\). После включения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения \(U\,(кВ)\)за время, определяемое выражением \(t = aRC\log_{2}{\frac{U_0}{U}}\) (с), где \(a = 1{,}2 \) – постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после включения телевизора прошло 43,2 с. Ответ дайте в киловольтах

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени \(\nu=2\) моля воздуха объёмом \(V_1=18\) л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма \(V_2\). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле \(A=a\nu T\log_2{\frac{V_1}{V_2}}\), где \(a=9{,}15\) Дж/моль⋅К - постоянная, а \(T=300\) К — температура воздуха. Найдите, какой объём \(V_2\) (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10980 Дж.

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне \(T_п=15 °C\), через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды \(m=0{,}5\, кг/с\). Проходя по трубе расстояние \(x\), вода охлаждается от начальной температуры \(T_в=79 °C\) до температуры \(T\), причём \(x=\alpha\dfrac{cm}{γ}\log_{2}{\frac{T_в-T_п}{T-T_п}}\), где \(c=4200\,\dfrac{Вт\cdot с}{кг\cdot °C}\) - теплоёмкость воды, \(γ=63\,\dfrac{Вт}{м\cdot °C}\) - коэффициент теплообмена, а \(\alpha=1{,}3\) - постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 130 м.

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде \(pV^{a}=const\), где \(p\) (Па) – давление в газе, \(V\) – объем газа в кубических метрах, \(a\) – положительная константа. При каком наименьшем значении константы \(a\) увеличение вчетверо объема газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 2 раза?