Задачи с показательными и логарифмическими выражениями

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(m(t)=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}\), где \(m_0\) (мг) - начальная масса изотопа, \(t\) (мин.) - время, прошедшее от начального момента, \(T\) (мин.) - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа \(m_0=50\) мг. Период его полураспада \(T=5\) мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг?

Для обогрева помещения, температура в котором равна \(T_п=25°C\), через радиатор отопления пропускают горячую воду температурой \(T_в=81°C\). За секунду через трубу протекает \(m=0{,}5\) кг воды. За \(x\) метров вода охлаждается до температуры \(T\) (в градусах Цельсия), вычисляемой по формуле \(x=\alpha\dfrac{cm}{γ}\cdot \log_{2}{\dfrac{T_в-T_п}{T-T_п}}\), где \(c=4200 \dfrac{Дж}{кг\cdot °C}\) - теплоёмкость воды, \(γ=42\dfrac{Вт}{м\cdot °C}\) - коэффициент теплообмена, а \(\alpha =1{,}1\) - постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы равна 110 м?

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора \(C=5\cdot10^{-6}Ф\). Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением \(R=6\cdot10^{6}Ом\). Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе \(U_0=34 кВ\). После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения \(U (кВ)\)за время, определяемое выражением \(t=\alpha RC\log_{2}{\dfrac{U_0}{U}} (с)\), где \(\alpha=1{,}7\) - постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошла 51 с. Ответ дайте в киловольтах.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(m=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}\), где \(m_0\) – начальная масса изотопа, \(t\) – время, прошедшее от начального момента, \(T\) – период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа \(20\; мг\). Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.

В ходе радиоактивного распада изотопа его масса уменьшается по закону \(M=M_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}\), где \(M_0\) - начальная масса изотопа, \(t\)- время, прошедшее с начала наблюдения, \(T\)- период полураспада. В начальный момент масса изотопа 96 мг. Период его полураспада составляет 3 мин. Найдите, через сколько минут после начала наблюдения масса изотопа будет равна 6 мг.

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне \(T_п=15 °C\), через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды \(m=0{,}5\, кг/с\). Проходя по трубе расстояние \(x\), вода охлаждается от начальной температуры \(T_в=79 °C\) до температуры \(T\), причём \(x=\alpha\dfrac{cm}{γ}\log_{2}{\frac{T_в-T_п}{T-T_п}}\), где \(c=4200\,\dfrac{Вт\cdot с}{кг\cdot °C}\) - теплоёмкость воды, \(γ=63\,\dfrac{Вт}{м\cdot °C}\) - коэффициент теплообмена, а \(\alpha=1{,}3\) - постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 130 м.

Водолазный колокол, содержащий \(v = 2\) моля воздуха при давлении \(p_1 = 1{,}5\) атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \(p_2\). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \(A = \alpha vT\log_{2}{\dfrac{p_2}{p_1}}\), где \(\alpha = 5{,}75\) - постоянная, \(T = 300\) К - температура воздуха. Найдите, какое давление \(p_2\) (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в \(6900\) Дж.

Емкость высоковольтного конденсатора в телевизоре \(C= 4⋅10^{-6}\)Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением \(R=2 ⋅10^6\)Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе \(U_0 = 22кВ\). После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения \(U\) (кВ) за время, определяемое выражением \(t = \alpha RC \log_{2}{\dfrac{U_0}{U}}\)(с), где \(\alpha=1{,}7\) – постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло \(27,2\) с. Ответ дайте в кВ (киловольтах).

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени \(\nu=3\)моля воздуха объёмом \(V_1=18 л\), медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма \(V_2\). Работа, совершаемая водой при изотермическом сжатии, вычисляется по формуле \(A = a\nu T\log_{2}{\frac{V_1}{V_2}}\), где \(a = 13{,}2\) Дж/моль⋅К - постоянная, а \(T = 300 K\) —температура воздуха. Найдите, какой объём \(V_2\) (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в 23760 Дж.

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре \(C = 3 \cdot 10^{-6}\) Ф. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением \(R = 5 \cdot 10^{6}\) Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе \(U_{0} = 9\) кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения \(U\) (кВ) за время, определяемое выражением \(t = \alpha RC \log_{2}{\dfrac{U_{0}}{U}}\) (с), где \(\alpha = 1{,}1\) - постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 33 секунды. Ответ дайте в кВ (киловольтах).