9.3. Задачи с тригонометрическими выражениями (Задачи ЕГЭ профиль)

Плоский замкнутый контур площадью \(S=1{,}25\,м^2\) находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой определяется формулой: \(ε_i=aS\cos{γ}\), где \(γ\) - острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, \(a=8\cdot 10^{-4}\,Тл/с\) - постоянная, \(S\,(м^2)\) - площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле. При каком минимальном угле \(γ\) ЭДС индукции не будет превышать \(5\cdot 10^{-4}\,В\)? Ответ дайте в градусах

Трактор тащит сани с силой \(F=90\) кН, направленной под острым углом \(\alpha\) к горизонту. При скорости трактора \(v=6\) м/с мощность равна \(N=Fv\cos\alpha\) (кВт). При каком максимальном угле \(\alpha\) эта мощность будет не менее 270 кВт? Ответ дайте в градусах.

Катер должен пересечь реку шириной \(L = 100\) м и со скоростью течения \(u =0{,}5\) м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением \(t=\dfrac{L}{u}\mathrm{ctg\,}\alpha\), где \(\alpha\) − острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом \(\alpha\) (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?

При нормальном падении света с длиной волны \(\lambda=650\, нм\) на дифракционную решетку с периодом \(d\) нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол \(\alpha\) (отсчитываемый от перпендикуляра к решетке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума \(k\) связаны соотношением \(d\cdot \sin\alpha=k\lambda\). Под каким минимальным углом \(\alpha\) (в градусах) можно наблюдать третий максимум на решетке с периодом, не превосходящим 1950 нм?

Очень легкий заряженный металлический шарик зарядом \(q=5\cdot10^{-6}\)  Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет \(v=6\) м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции \(B\) которого лежит в той же плоскости и составляет угол \(\alpha\) с направлением движения шарика. Значение индукции поля \(B=6\cdot10^{-3}\)  Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная \(F_л = qvB\sin\alpha\) (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла \(\alpha\in[0°;180°]\) шарик оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила \(F_л\) была не менее, чем \(9\cdot10^{-8}\) Н? Ответ дайте в градусах.

Груз массой 0,58 кг колеблется на пружине. Его скорость \(v\) (в м/с) меняется по закону \(v=v_0 \sin{\dfrac{2\pi t}{T}}\), где \(t\) - время с момента начала колебаний в секундах, \(Т=6с\) - период колебаний, \(v_0=2\,м/с\). Кинетическая энергия \(Е\) (в Дж) груза вычисляется по формуле \(E=\dfrac{mv^2}{2}\), где \(m\) - масса груза (в кг), \(v\) - скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза через 4 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Мяч бросили под отстрым углом \(\alpha\) к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле \(t=\dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}\). При каком значении угла \(\alpha\) (в градусах) время полета составит 3 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью \(v_0=30\) м/с? Считайте, что ускорение свободного падения \(g=10\) м/с²

Небольшой мячик бросают под острым углом \(\alpha\) к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетит мячик, вычисляется по формуле \(L=\dfrac{v_0^2}{g}\sin2\alpha\) (м), где \(v_0=13\) м/с – начальная скорость мяча, а \(g\) – ускорение свободного падения (считайте \(g=10\) м/с²). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мяч перелетит реку шириной 8,45 метров?

Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Н⋅м) определяется формулой \(M=NIBl^2\sin\alpha\), где \(I = 3\)A — сила тока в рамке, \(B=4\cdot10^{-3}\)Тл — значение индукции магнитного поля, \(l =0{,}5\)м — размер рамки, \(N=600\) — число витков провода в рамке, \(\alpha\) — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла \(\alpha\) (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент \(M\) был не меньше \(0{,}9\) Н⋅м?

Двигаясь со скоростью v=4 м/с, трактор тащит сани с силой F=90 кН, направленной под острым углом α к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле N=F·v·cosα. Найдите, при каком угле α (в градусах) эта мощность будет равна 180 кВт (кВт – это кН·м/с).