« Задачи с тригонометрическими выражениями»
Груз массой \(0{,}3\) кг колеблется на пружине. Его скорость \(v\) меняется по закону \(v=v_0\cos\dfrac{2\pi t}{T}\) , где \(t\) - время с момента начала колебаний, \(Т=2\) с - период колебаний, \(v_0=0{,}2\) м/с. Кинетическая энергия \(E\) (в джоулях) груза вычисляется по формуле \(E=\dfrac{mv^2}{2}\) , где \(m\) - масса груза в килограммах, \(v\) - скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 33 с после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону \(\varphi=\omega t+\dfrac{\beta t^2}{2}\), где \(t\) – время в минутах, \(\omega=60°/мин\) – начальная угловая скорость вращения катушки, а \(\beta=6°/мин^2\) – угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки \(\varphi\) достигнет \(3375°\). Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ дайте в минутах.
Мяч бросили под углом \(\alpha\) к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле \(t=\dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}\). При каком значении угла \(\alpha\) (в градусах) время полета составит 2,6 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью \(v_0=13 \, м/с^2\)? Считайте, что ускорение свободного падения \(g=10\, м/с^2\).
При нормальном падении света с длиной волны \(\lambda=650\, нм\) на дифракционную решетку с периодом \(d\) нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол \(\alpha\) (отсчитываемый от перпендикуляра к решетке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума \(k\) связаны соотношением \(d\cdot \sin\alpha=k\lambda\). Под каким минимальным углом \(\alpha\) (в градусах) можно наблюдать третий максимум на решетке с периодом, не превосходящим 1950 нм?
Плоский замкнутый контур площадью \(S = 0{,}625\,м^2\) находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея к контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой \(ε_i = a S\cos \alpha\), где \(\alpha\) – острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, \(a=16\cdot 10^{-4} \,Тл/с\) – постоянная, \(S\) – площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в \(м^2\)). При каком минимальном угле \(\alpha\) (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать \(5⋅10^{-4}\, В\)?
Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью \(v = 3{,}6\, м/с\) под острым углом \(\alpha\) к
рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью \(u=\dfrac{m}{m+M} \cdot v\cdot \cos \alpha\) (м/с), где \(m=70\, кг\) − масса скейтбордиста со скейтом, а \(M = 350 \,кг\) − масса платформы. Под каким максимальным углом \(\alpha\) (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,3 м/с?
Груз массой \(0{,}26\) кг колеблется на пружине. Его скорость \(v\) (в м/с) меняется по закону \(v = v_0\sin{\dfrac{2\pi t}{T}}\), где \(t\) - время с момента начала колебаний в секундах, \(T = 12\) c - период колебаний,\(v_0 = 4\) м/с. Кинетическая энергия \(E\) (в Дж) груза вычисляется по формуле \(E = \dfrac{mv^2}{2}\), где \(m\) - масса груза (в кг), \(v\) - скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза через 5 с после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Два тела массой \(m=4кг\) каждое движутся с одинаковой скоростью \(v =9 м/с\) под углом \(2α\) друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле \(Q=mv^2\sin^2α\), где \(m\) — масса (в кг), \(v\) — скорость (в м/с). Найдите, под каким углом \(2α\) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 243 Дж. Ответ дайте в градусах.
Двигаясь со скоростью \(v=5\, м/с\), трактор тащит сани с силой \(F=100\,кН\), направленной под острым углом \(\alpha\) к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле \(N=Fv\cos\alpha\) . Найдите, при каком угле \(\alpha\) (в градусах) эта мощность будет равна \(250 \,кВт\) (кВт - это кН∙м/с).
Антенна датчика ловит радиосигнал, преобразуемый затем в электрический сигнал, который изменяется, в зависимости от времени, по закону \(U=U_0\sin(\alpha t+\gamma)\), где \(t\) – время в секундах после включения датчика, \(U_0=6 B\), частота \(\alpha=120°\) в секунду, фаза \(\gamma=-60°\). Если напряжение в датчике не ниже 3 B, то загорается лампочка. Какую часть второй секунды после начала работы датчика будет гореть лмпочка?
Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью \(v = 3\, м/с\) под острым углом \(\alpha\) к
рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью \(u=\dfrac{m}{m+M} \cdot v\cdot \cos \alpha\) (м/с), где \(m=60\, кг\) − масса скейтбордиста со скейтом, а \(M = 300 \,кг\) − масса платформы. Под каким максимальным углом \(\alpha\) (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?
Антенна датчика ловит радиосигнал, преобразуемый затем в электрический сигнал, который изменяется, в зависимости от времени, по закону \(U = U_0\sin{(\alpha t + γ)}\), где \(t\) – время в секундах после включения датчика, \(U_0 = 6 В\), частота \(\alpha = 120°\) в секунду, фаза \(γ = -60°\). Если напряжение не ниже 3 В, то загорается лампочка. Какую часть второй секунды(в процентах) после начала датчика будет гореть лампочка?
Груз массой 0,4 кг колеблется на пружине. Его скорость \(v\) меняется по закону \(v = v_0 \cos\dfrac{2\pi t}{T}\), где \(t\) – время с момента начала колебаний, \(T = 2с\) – период колебаний, \(v_0 = 0{,}3 м/с\). Кинетическая энергия \(E\) (в джоулях) груза вычисляется по формуле \(E = \dfrac{mv^2}{2}\), где \(m\) – масса груза в килограммах, \(v\) – скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 23 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Два тела массой \(m = 7\, кг\) каждое движутся с одинаковой скоростью \(v = 9\,м/c\) под углом \(2α\) друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле \(Q = mv^2 \sin^2 α\) , где \(m\) — масса (в кг), \(v\) — скорость (в м/с). Найдите, под каким углом \(2α\) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 567 Дж. Ответ дайте в градусах.