Задачи ЕГЭ профиль
Скрыть/развернуть все

« Планиметрия»


Задача №4723
Сложность: 0 % !

Точка \(O\) — центр вписанной в треугольник \(ABC\) окружности. Прямая \(BO\) вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(E\).
а) Докажите, что углы \(\angle EOC = \angle ECO\).
б) Найдите площадь треугольника \(ACE\), если радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности равен \(6\sqrt{3}\), угол \(ABC = 60°\).

Задача №4118
Сложность: 23 % !

В треугольнике \(ABC\) точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) − середины сторон \(BC\), \(AC\) и \(AB\) соответственно, \(AH\) − высота, \(\angle BAC = 60°\), \(\angle BCA = 45°\).
а) Докажите, что точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(H\) лежат на одной окружности.
б) Найдите \(A_1H\), если  \(BC=2\sqrt3\). 

Задача №4678
Сложность: 46 % !

Точка \(О\) — центр вписанной в треугольник \(ABC\) окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(Р\).

а) Докажите, что \(\angle POA = \angle PAO\).

б) Найдите площадь треугольника \(АРО\), если радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности равен \(6\), углы \(BAC = 75°\), \(ABC = 60°\).

Задача №507
Сложность: 53 % !

В трапеции \(ABCD\) с прямым углом \(A\) расположены две окружности. Одна из них касается меньшего основания \(BC\) и боковых сторон, а другая – большего основания \(AD\), боковых сторон и первой окружности. Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает большее основание в точке \(P\).


а) Докажите, что \(AP:PD=\sin D\);
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей 1 и 3.

Задача №1090
Сложность: 60 % !

Высоты тупоугольного треугольника \(ABC\) с тупым углом \(ABC\) пересекаются в точке \(H\). Угол \(AHC\) равен 60°.

а) Докажите, что угол \(ABC\) равен 120°.

б) Найдите \(BH\), если \(AB=6\), \(BC=10\).

 

Задача №1037
Сложность: 62 % !

В равнобедренной трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) в три раза больше основания \(BC\).

а) Докажите, что высота \(CH\) трапеции разбивает основание \(AD\) на отрезки, один из которых вдвое больше другого.

б) Найдите расстояние от вершины \(C\) до середины диагонали \(BD\), если \(AD=18\) и \(AC=4\sqrt{13}\)

Задача №1041
Сложность: 62 % !

 В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

б) Найдите BD.

Задача №1072
Сложность: 62 % !

Высоты тупоугольного треугольника \(ABC\) с тупым углом \(ABC\) пересекаются в точке \(H\). Угол \(AHC\) равен 60°.

а) Докажите, что угол \(ABC\) равен 120°.

б) Найдите \(BH\), если \(AB=7\), \(BC=8\).

 

Задача №3230
Сложность: 62 % !

Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите QN, если отрезки DP и PC перпендикулярны, AB = 21, BC = 4, CD = 20, AD = 17

Задача №2857
Сложность: 63 % !

Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
​б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MPQ, если прямая DP перпендикулярна прямой PC, AB = 25, BC = 3, CD = 28, AD = 20.

Задача №514
Сложность: 65 % !

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол при вершине \(A\) равен 30°. Точка \(D\) – середина гипотенузы \(AB\). Окружности, вписанные в треугольники \(ADC\) и \(BDC\) касаются сторон \(AC\) и \(BC\) в точках \(K\) и \(P\) соответственно.
а) Докажите, что \(KP\) равно \(CD\).
б) Найдите, в каком отношении делит гипотенузу \(AB\) точка касания большей из этих окружностей, считая от вершины \(A\).

Ответ запишите в виде несрократимого отношения без пробелов, например "4:13".

Задача №3030
Сложность: 66 % !

Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке M. Окружность, описанная около треугольника CDM, пересекает отрезок AD в точке N и касается прямой BN.
а) Докажите, что треугольники BNC и CDN подобны.
б) Найдите AD, если CD=24, ∠BCD=∠DMA, а радиус окружности равен 13.

Задача №4344
Сложность: 66 % !

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN:BC=2:5, а BN=14.

Задача №4653
Сложность: 66 % !

Окружность с центром в точке O проходит через вершины C и D большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD, пересекает второй раз основания AD и BC в точках L и P соответственно и касется боковой стороны AB в точке T.
а) Докажите, что угол COD в два раза больше угла CTD.
б) Найдите расстояние от точки T до прямой CD, если основания трапеции AD и BC равны соответственно 9 и 4.

Задача №2998
Сложность: 67 % !

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC = CD.
а) Докажите, что AB : BC = AP : PD.
б) Найдите площадь треугольника COD, где O - центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD - диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = \(5\), а BC = \(5\sqrt{2}\).

Задача №2426
Сложность: 68 % !

Две окружности касаются внешним образом в точке C. Прямая касается меньшей окружности в точке A, а большей — в точке B, отличной от A. Прямая AC второй раз пересекает большую окружность в точке D, прямая BC второй раз пересекает меньшую окружность в точке E.
а) Докажите, что прямая AE параллельна прямой BD.
б) Пусть L — отличная от D точка пересечения отрезка DE с большей окружностью. Найдите EL, если радиусы окружностей равны 2 и 5.

Задача №562
Сложность: 69 % !

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина гипотенузы AB, Н – точка пересечения прямых CM и DK.

а) Докажите, что CM⊥DK.

б) Найдите MH, если катеты AC=3, BC=4.

Задача №403
Сложность: 73 % !

В трапеции \(ABCD\) с прямым углом \(A\) расположены две окружности. Одна из них касается меньшего основания \(BC\) и боковых сторон, а другая – большего основания \(AD\), боковых сторон и первой окружности. Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает большее основание в точке \(P\).


а) Докажите, что \(AP:PD=\sin D\);
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей \(\dfrac13\) и \(\dfrac43\).

Задача №3931
Сложность: 75 % !

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй – в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1. 

Задача №4227
Сложность: 75 % !

Сторона \(CD\) прямоугольника \(ABCD\) касается некоторой окружности в точке \(M\). Продолжение стороны \(AD\) пересекает эту окружность в точках \(P\) и \(Q\), причем точка \(P\) лежит между точками \(D\) и \(Q\). Прямая \(BC\) касается окружности, а точка \(Q\) лежит на прямой \(BM\).

а) Докажите, что \(\angle DMP=\angle CBM\).

б) Известно, что \(CM=17\) и \(CD=25\). Найдите сторону \(AD\).

Задача №779
Сложность: 89 % !

Точка O — центр описанной около треугольника ABC окружности, точка I — центр вписанной в этот треугольник окружности, точка H — точка пересечения высот треугольника ABC. Известно, что ∠BAC=∠OBC+∠OCB.
а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
б) Найдите угол OIH, если ∠ABC=75°

Задача №373
Сложность: 100 % !

В равнобедренной трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) в три раза больше основания \(BC\).

а) Докажите, что высота \(CH\) трапеции разбивает основание \(AD\) на отрезки, один из которых вдвое больше другого.

б) Найдите расстояние от вершины \(C\) до середины диагонали \(BD\), если \(AD=36\) и \(AC=26\).

Задача №2885
Сложность: 100 % !

Дана равнобедренная трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). Окружность с центром \(O\), построенная на боковой стороне \(AB\) как на диаметре, касается боковой стороны \(CD\) и второй раз пересекает большее основание \(AD\) в точке \(H\), точка \(Q\) - середина \(CD\).

А) Докажите, что четырехугольник \(DQOH\) - параллелограмм.

Б) Найдите \(AD\), если \(\angle{BAD} = 75\) и \(BC = 1\).

Задача №2997
Сложность: 100 % !

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 2?

2019 ©, ИП Иванов Дмитрий Михайлович