Планиметрия

В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD - диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AD=CF.
б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 12, угол BAC=35°, угол ACB=65°.

Точка \(O\) — центр вписанной в треугольник \(ABC\) окружности. Прямая \(BO\) вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(E\).
а) Докажите, что углы \(\angle EOC = \angle ECO\).
б) Найдите площадь треугольника \(ACE\), если радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности равен \(6\sqrt{3}\), угол \(ABC = 60°\).

На гипотенузе \(AB\) и катетах \(BC\) и \(AC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) отмечены точки \(M\), \(N\) и \(K\) соответственно, причём прямая \(NK\) параллельна прямой \(AB\) и \(BM=BN=\dfrac{1}{2}KN\). Точка \(Р\) - середина отрезка \(KN\).

а) Докажите, что четырёхугольник \(BCPM\) - равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(BM=1\) и \(\angle BCM=15°\)

На гипотенузе AB и катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки М, N и К соответственно, причём прямая NK параллельна прямой AB и BM=BN=KN/2. Точка Р - середина отрезка KN.

а) Докажите, что четырёхугольник BCPM - равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если BM=2 и угол BCM=30°

Около остроугольного треугольника ABC с различными сторонами описали окружность с диаметром BN. Высота BH пересекает эту окружность в точке K.
а) Докажите, что AN=CK.
б) Найдите KN, если угол BAC равен 35°, угол ACB равен 65°, а радиус окружности равен 12.

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
​б) Найдите ВС, если радиусы окружностей равны √15 ​ и 15.

В треугольнике АВС все стороны различны. Прямая, содержащая высоту ВН треугольника АВС, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN-диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AC и KN параллельны.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6√6, ∠BAC=30°, ∠ABC=105°

В треугольнике \(ABC\) точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) − середины сторон \(BC\), \(AC\) и \(AB\) соответственно, \(AH\) − высота, \(\angle BAC= 60°\), \(\angle BCA= 45°\).
а) Докажите, что точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(H\) лежат на одной окружности.
б) Найдите \(A_1H\), если \(BC=2\sqrt3\).

В равнобедренной трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) в три раза больше основания \(BC\).

а) Докажите, что высота \(CH\) трапеции разбивает основание \(AD\) на отрезки, один из которых вдвое больше другого.

б) Найдите расстояние от вершины \(C\) до середины диагонали \(BD\), если \(AD=36\) и \(AC=26\).

Окружность с центром O₁ касается оснований ВС и АD, а также боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром O₂ касается сторон ВС, СD и АD. Известно, что АВ=9, ВС=8, СD=4, АD=15.
а) Докажите, что прямая O₁O₂ параллельна основаниям трапеции ABCD.
б) Найдите O₁O₂