Планиметрия

На гипотенузе \(AB\) и катетах \(BC\) и \(AC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) отмечены точки \(M\), \(N\) и \(K\) соответственно, причём прямая \(NK\) параллельна прямой \(AB\) и \(BM=BN=\dfrac{1}{2}KN\). Точка \(Р\) - середина отрезка \(KN\).

а) Докажите, что четырёхугольник \(BCPM\) - равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(BM=1\) и \(\angle BCM=15°\)

В параллелограме \(ABCD\) угол \(A\) острый. На продолжениях сторон \(AD\) и \(CD\) за точку \(D\) выбраны точки \(M\) и \(N\) соответственно, причём \(AN=AD \) и \(CM=CD\).
а) Докажите, что \(BN=BM\).
б) Найдите \(MN\), если \(AC=5\), \( \sin{\angle BAD=\dfrac{5}{13}} \).

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD.

В треугольнике \(ABC\) точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) − середины сторон \(BC\), \(AC\) и \(AB\) соответственно, \(AH\) − высота, \(\angle BAC= 60°\), \(\angle BCA= 45°\).
а) Докажите, что точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(H\) лежат на одной окружности.
б) Найдите \(A_1H\), если \(BC=2\sqrt3\).

На гипотенузе AB и катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки М, N и К соответственно, причём прямая NK параллельна прямой AB и BM=BN=KN/2. Точка Р - середина отрезка KN.

а) Докажите, что четырёхугольник BCPM - равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если BM=2 и угол BCM=30°

Около остроугольного треугольника ABC с различными сторонами описали окружность с диаметром BN. Высота BH пересекает эту окружность в точке K.
а) Докажите, что AN=CK.
б) Найдите KN, если угол BAC равен 35°, угол ACB равен 65°, а радиус окружности равен 12.

Точка \(О\) — центр вписанной в треугольник \(ABC\) окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(Р\).

а) Докажите, что \(\angle POA = \angle PAO\).

б) Найдите площадь треугольника \(АРО\), если радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности равен \(6\), углы \(BAC = 75°\), \(ABC = 60°\).

В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD - диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AD=CF.
б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 12, угол BAC=35°, угол ACB=65°.

Точка \(O\) — центр вписанной в треугольник \(ABC\) окружности. Прямая \(BO\) вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(E\).
а) Докажите, что углы \(\angle EOC = \angle ECO\).
б) Найдите площадь треугольника \(ACE\), если радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности равен \(6\sqrt{3}\), угол \(ABC = 60°\).

В равнобедренной трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) в три раза больше основания \(BC\).

а) Докажите, что высота \(CH\) трапеции разбивает основание \(AD\) на отрезки, один из которых вдвое больше другого.

б) Найдите расстояние от вершины \(C\) до середины диагонали \(BD\), если \(AD=36\) и \(AC=26\).