17. Планиметрия (Задачи ЕГЭ профиль)

Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке E.
а) Докажите, что углы ∠EOC=∠ECO.
б) Найдите площадь треугольника ACE, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6√3, ∠ABC=60°.

На гипотенузе \(AB\) и катетах \(BC\) и \(AC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) отмечены точки \(M\), \(N\) и \(K\) соответственно, причём прямая \(NK\) параллельна прямой \(AB\) и \(BM=BN=\dfrac{1}{2}KN\). Точка \(Р\) - середина отрезка \(KN\).

а) Докажите, что четырёхугольник \(BCPM\) - равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(BM=1\) и \(\angle BCM=15°\)

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC.
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины C до середины диагонали BD, если AD=36 и AC=26.

На катетах ACи BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина гипотенузы AB, Н – точка пересечения прямых CM и DK.
а) Докажите, что CM⊥DK.
б) Найдите MH, если катеты AC=3, BC=4.

Высоты тупоугольного треугольника ABC с тупым углом ABC пересекаются в точке H. Угол AHC равен 60°.
а) Докажите, что угол ABC равен 120°.
б) Найдите BH, если AB=6, BC=10.

В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD - диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AD=CF.
б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 12, угол BAC=35°, угол ACB=65°.

В треугольнике АВС все стороны различны. Прямая, содержащая высоту ВН треугольника АВС, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN-диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AC и KN параллельны.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6√6, ∠BAC=30°, ∠ABC=105°

На гипотенузе AB и катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки М, N и К соответственно, причём прямая NK параллельна прямой AB и BM=BN=KN/2. Точка Р - середина отрезка KN.
а) Докажите, что четырёхугольник BCPM - равнобедренная трапеция.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если BM=2 и угол BCM=30°

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC.
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины C до середины диагонали BD, если AD=18 и AC=4√13

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC = CD.
а) Докажите, что AB : BC = AP : PD.
б) Найдите площадь треугольника COD, где O - центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD - диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = \(5\), а BC = \(5\sqrt{2}\).