Планиметрия
На сторонах \(AB\), \(BC\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) отмечены точки \(C_1\), \(A_1\) и \(B_1\) соответственно, причём \(AC_1 : C_1B = 11: 30\), \(BA_1 : A_1C = 5: 1\), \(CB_1 : B_1A = 6: 5\). Отрезки \(BB_1\) и \(CC_1\) пересекаются в точке \(D\).
а) Докажите, что \(ADA_1B_1\) — параллелограмм.
б) Найдите \(CD\), если отрезки \(AD\) и \(BC\) перпендикулярны, \(AC = 11\), \(BC = 18\).
На гипотенузе AB и катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки М, N и К соответственно, причём прямая NK параллельна прямой AB и BM=BN=KN/2. Точка Р - середина отрезка KN.
а) Докажите, что четырёхугольник BCPM - равнобедренная трапеция.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если BM=2 и угол BCM=30°
Около остроугольного треугольника ABC с различными сторонами описали окружность с диаметром BN. Высота BH пересекает эту окружность в точке K.
а) Докажите, что AN=CK.
б) Найдите KN, если угол BAC равен 35°, угол ACB равен 65°, а радиус окружности равен 12.
Окружность с центром в точке O пересекает каждую из сторон трапеции ABCD в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.
а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.
б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L так, что AK=13, KL=6, LB=1.
Дан прямоугольный треугольник ABC. На катете AC отмечена точка M, а на продолжении катета BC за точку C — точка N так, что CM = CB и CA = CN.
а) Пусть CH и CF — высоты треугольников ABC и NMC соответственно. Докажите, что CF и CH перпендикулярны.
б) Пусть L — это точка пересечения BM и AN, BC = 2, AC = 5. Найдите ML.
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
б) Найдите ВС, если радиусы окружностей равны √15 и 15.
На сторонах \(AC\), \(AB\) и \(BC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) с прямым углом \(C\) вне треугольника \(ABC\) построены равнобедренные прямоугольные треугольники \(AKC\), \(ALB\) и \(BMC\) с прямыми углами \(K\), \(L\) и \(M\) соответственно.
а) Докажите, что \(LC\) – высота треугольника \(KLM\).
б) Найдите площадь треугольника \(KLM\), если \(LC=6\).
Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины A и B равнобедренного прямоугольного треугольника ABC c прямым углом C лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая AC вторично пересекает меньшую окружность в точке D. Прямая BC вторично пересекает большую окружность в точке E.
а) Докажите, что AE параллельно BD.
б) Найдите AC, если радиусы окружностей равны 8 и 15.
На гипотенузе \(AB\) и катетах \(BC\) и \(AC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) отмечены точки \(M\), \(N\) и \(K\) соответственно, причём прямая \(NK\) параллельна прямой \(AB\) и \(BM=BN=\dfrac{1}{2}KN\). Точка \(Р\) - середина отрезка \(KN\).
а) Докажите, что четырёхугольник \(BCPM\) - равнобедренная трапеция.
б) Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(BM=1\) и \(\angle BCM=15°\)
На сторонах \(AB\), \(BC\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) отмечены точки \(C_1\), \(A_1\) и \(B_1\) соответственно, причём \(AC_1 : C_1B = 8 : 3\), \(BA_1 : A_1C = 1 : 2\), \(CB_1 : B_1A = 3 : 1\). Отрезки \(BB_1\) и \(CC_1\) пересекаются в точке \(D\).
а) Докажите, что \(ADA_1B_1\) — параллелограмм.
б) Найдите \(CD\), если отрезки \(AD\) и \(BC\) перпендикулярны, \(AC = 28\), \(BC = 18\).