17. Планиметрия (Задачи ЕГЭ профиль)

На гипотенузе \(AB\) и катетах \(BC\) и \(AC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) отмечены точки \(M\), \(N\) и \(K\) соответственно, причём прямая \(NK\) параллельна прямой \(AB\) и \(BM=BN=\dfrac{1}{2}KN\). Точка \(Р\) - середина отрезка \(KN\).

а) Докажите, что четырёхугольник \(BCPM\) - равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(BM=1\) и \(\angle BCM=15°\)

На катетах ACи BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина гипотенузы AB, Н – точка пересечения прямых CM и DK.
а) Докажите, что CM⊥DK.
б) Найдите MH, если катеты AC=3, BC=4.

Высоты тупоугольного треугольника ABC с тупым углом ABC пересекаются в точке H. Угол AHC равен 60°.
а) Докажите, что угол ABC равен 120°.
б) Найдите BH, если AB=6, BC=10.

Точка O — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая BO вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке E.
а) Докажите, что углы ∠EOC=∠ECO.
б) Найдите площадь треугольника ACE, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6√3, ∠ABC=60°.

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC.
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины C до середины диагонали BD, если AD=36 и AC=26.

В треугольнике АВС все стороны различны. Прямая, содержащая высоту ВН треугольника АВС, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN-диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AC и KN параллельны.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6√6, ∠BAC=30°, ∠ABC=105°

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC.
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины C до середины диагонали BD, если AD=18 и AC=4√13

Окружность с центром в точке O пересекает каждую из сторон трапеции ABCD в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.
а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.
б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону AB в точках E и F так, что AE=19, EF=12, FB=3.

В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD - диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AD=CF.
б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 12, угол BAC=35°, угол ACB=65°.

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол при вершине \(A\) равен 30°. Точка \(D\) – середина гипотенузы \(AB\). Окружности, вписанные в треугольники \(ADC\) и \(BDC\) касаются сторон \(AC\) и \(BC\) в точках \(K\) и \(P\) соответственно.
а) Докажите, что \(KP\) равно \(CD\).
б) Найдите, в каком отношении делит гипотенузу \(AB\) точка касания большей из этих окружностей, считая от вершины \(A\).

Ответ запишите в виде несрократимого отношения без пробелов, например "4:13".