« Планиметрия»
На гипотенузе AB и катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки М, N и К соответственно, причём прямая NK параллельна прямой AB и BM=BN=KN/2. Точка Р - середина отрезка KN.
а) Докажите, что четырёхугольник BCPM - равнобедренная трапеция.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если BM=2 и угол BCM=30°
В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD - диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AD=CF.
б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 12, угол BAC=35°, угол ACB=65°.
Точка \(O\) — центр вписанной в треугольник \(ABC\) окружности. Прямая \(BO\) вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(E\).
а) Докажите, что углы \(\angle EOC = \angle ECO\).
б) Найдите площадь треугольника \(ACE\), если радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности равен \(6\sqrt{3}\), угол \(ABC = 60°\).
В треугольнике АВС все стороны различны. Прямая, содержащая высоту ВН треугольника АВС, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN-диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AC и KN параллельны.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6√6, ∠BAC=30°, ∠ABC=105°
Около остроугольного треугольника ABC с различными сторонами описали окружность с диаметром BN. Высота BH пересекает эту окружность в точке K.
а) Докажите, что AN=CK.
б) Найдите KN, если угол BAC равен 35°, угол ACB равен 65°, а радиус окружности равен 12.
На гипотенузе \(AB\) и катетах \(BC\) и \(AC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) отмечены точки \(M\), \(N\) и \(K\) соответственно, причём прямая \(NK\) параллельна прямой \(AB\) и \(BM=BN=\dfrac{1}{2}KN\). Точка \(Р\) - середина отрезка \(KN\).
а) Докажите, что четырёхугольник \(BCPM\) - равнобедренная трапеция.
б) Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(BM=1\) и \(\angle BCM=15°\)
В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC=10\) и \(AB=BC=14\).
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне \(AC\), пересекает окружность, вписанную в треугольник \(ABC\).
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне \(AC\).
Ответ запишите в виде несократимого отношения без пробелов, например "4:13:5".
Сторона \(CD\) прямоугольника \(ABCD\) касается некоторой окружности в точке \(M\). Продолжение стороны \(AD\) пересекает эту окружность в точках \(P\) и \(Q\), причем точка \(P\) лежит между точками \(D\) и \(Q\). Прямая \(BC\) касается окружности, а точка \(Q\) лежит на прямой \(BM\).
а) Докажите, что \(\angle DMP=\angle CBM\).
б) Известно, что \(CM=17\) и \(CD=25\). Найдите сторону \(AD\).
Точка \(О\) — центр вписанной в треугольник \(ABC\) окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(Р\).
а) Докажите, что \(\angle POA = \angle PAO\).
б) Найдите площадь треугольника \(АРО\), если радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности равен \(6\), углы \(BAC = 75°\), \(ABC = 60°\).
Окружность проходит через вершины \(A\), \(B\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\), пересекает сторону \(BC\) в точках \(B\) и \(M\), а также пересекает продолжение стороны \(CD\) за точку \(D\) в точке \(N\).
а) Докажите, что \(AM=AN\).
б) Найдите отношение \(CD:DN\), если \(AB:BC = 1:3\), а \(\cos\angle BAD=0{,}4\).
Ответ запишите в виде несократимого отношения без пробелов, например "4:13".