Задачи ЕГЭ профиль
- 1. Планиметрия
- 2. Стереометрия
- 3. Классическое определение вероятности
- 4. Теория вероятностей
- 5. Уравнения
- 6. Нахождение значений выражений
- 7. Производная
- 8. Задачи прикладного содержания
- 9. Текстовые задачи
- 10. Функции и графики
- 11. Исследование функций
- 12. Сложные уравнения
- 13. Стереометрия
- 14. Неравенства
- 15. Экономические задачи
- 16. Планиметрия
- 17. Параметры
- 18. Теория чисел
16. Планиметрия (Задачи ЕГЭ профиль)
На гипотенузе AB и катетах BC и AC прямоугольного треугольника ABC отмечены точки М, N и К соответственно, причём прямая NK параллельна прямой AB и BM=BN=KN/2. Точка Р - середина отрезка KN.
а) Докажите, что четырёхугольник BCPM - равнобедренная трапеция.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если BM=2 и угол BCM=30°
Высоты тупоугольного треугольника ABC с тупым углом ABC пересекаются в точке H. Угол AHC равен 60°.
а) Докажите, что угол ABC равен 120°.
б) Найдите BH, если AB=7, BC=8.
Высоты тупоугольного треугольника ABC с тупым углом ABC пересекаются в точке H. Угол AHC равен 60°.
а) Докажите, что угол ABC равен 120°.
б) Найдите BH, если AB=6, BC=10.
В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD - диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AD=CF.
б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 12, угол BAC=35°, угол ACB=65°.
В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC.
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины C до середины диагонали BD, если AD=36 и AC=26.
В треугольнике АВС все стороны различны. Прямая, содержащая высоту ВН треугольника АВС, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN-диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AC и KN параллельны.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6√6, ∠BAC=30°, ∠ABC=105°
На гипотенузе \(AB\) и катетах \(BC\) и \(AC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) отмечены точки \(M\), \(N\) и \(K\) соответственно, причём прямая \(NK\) параллельна прямой \(AB\) и \(BM=BN=\dfrac{1}{2}KN\). Точка \(Р\) - середина отрезка \(KN\).
а) Докажите, что четырёхугольник \(BCPM\) - равнобедренная трапеция.
б) Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(BM=1\) и \(\angle BCM=15°\)
В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC.
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Найдите расстояние от вершины C до середины диагонали BD, если AD=18 и AC=4√13
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB=3, BC=CD=5, AD=8, AC=7.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD.
В треугольнике \(ABC\) точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) − середины сторон \(BC\), \(AC\) и \(AB\) соответственно, \(AH\) − высота, \(\angle BAC= 60°\), \(\angle BCA= 45°\).
а) Докажите, что точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(H\) лежат на одной окружности.
б) Найдите \(A_1H\), если \(BC=2\sqrt3\).