Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=12. Известно, что AB=BC=CD=18.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите AD.

В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке F. Отрезок BD - диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AD=CF.
б) Найдите DF, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 12,  угол BAC=35°, угол ACB=65°.

В треугольнике \(ABC\) точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) − середины сторон \(BC\), \(AC\) и \(AB\) соответственно, \(AH\) − высота, \(\angle BAC = 60°\), \(\angle BCA = 45°\).
а) Докажите, что точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(H\) лежат на одной окружности.
б) Найдите \(A_1H\), если  \(BC=2\sqrt3\). 

Окружность проходит через вершины \(A\), \(B\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\), пересекает сторону \(BC\) в точках \(B\) и \(M\), а также пересекает продолжение стороны \(CD\) за точку \(D\) в точке \(N\).
а) Докажите, что \(AM=AN\).
б) Найдите отношение \(CD:DN\), если \(AB:BC = 1:3\), а \(\cos\angle BAD=0{,}4\).

Ответ запишите в виде несократимого отношения без пробелов, например "4:13".

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN:BC=2:5, а BN=14.

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC=10\) и \(AB=BC=14\).
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне \(AC\), пересекает окружность, вписанную в треугольник \(ABC\).
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне \(AC\).

Ответ запишите в виде несократимого отношения без пробелов, например "4:13:5".

Точка \(О\) — центр вписанной в треугольник \(ABC\) окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(Р\).

а) Докажите, что \(\angle POA = \angle PAO\).

б) Найдите площадь треугольника \(АРО\), если радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности равен \(6\), углы \(BAC = 75°\), \(ABC = 60°\).

Точка \(O\) — центр вписанной в треугольник \(ABC\) окружности. Прямая \(BO\) вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(E\).
а) Докажите, что углы \(\angle EOC = \angle ECO\).
б) Найдите площадь треугольника \(ACE\), если радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности равен \(6\sqrt{3}\), угол \(ABC = 60°\).

Окружность проходит через вершины \(A\), \(B\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\), пересекает сторону \(BC\) в точках \(B\) и \(M\), а также пересекает продолжение стороны \(CD\) за точку \(D\) в точке \(N\).

а) Докажите, что \(AM=AN\)

б) Найдите отношение \(CD:DN\), если \(AB:BC=2:3\), а \(\cos\angle BAD=0{,}7\)

Ответ запишите в виде несократимого отношения без пробелов, например "4:13".

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC=26\) и \(AB=BC=38\).
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная стороне \(AC\), пересекает окружность, вписанную в треугольник \(ABC\).
б) Найдите отношение длин отрезков, на которые окружность делит среднюю линию, параллельную стороне \(AC\).

В трапеции \(ABCD\) с прямым углом \(A\) расположены две окружности. Одна из них касается меньшего основания \(BC\) и боковых сторон, а другая – большего основания \(AD\), боковых сторон и первой окружности. Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает большее основание в точке \(P\).
а) Докажите, что \(AP:PD=\sin D\);
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей 1 и 3.

Высоты тупоугольного треугольника \(ABC\) с тупым углом \(ABC\) пересекаются в точке \(H\). Угол \(AHC\) равен 60°.
а) Докажите, что угол \(ABC\) равен 120°.
б) Найдите \(BH\), если \(AB=6\), \(BC=10\).

В равнобедренной трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) в три раза больше основания \(BC\).

а) Докажите, что высота \(CH\) трапеции разбивает основание \(AD\) на отрезки, один из которых вдвое больше другого.

б) Найдите расстояние от вершины \(C\) до середины диагонали \(BD\), если \(AD=18\) и \(AC=4\sqrt{13}\)

Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
​б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MPQ, если прямая DP перпендикулярна прямой PC, AB = 25, BC = 3, CD = 28, AD = 20.

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) угол при вершине \(A\) равен 30°. Точка \(D\) – середина гипотенузы \(AB\). Окружности, вписанные в треугольники \(ADC\) и \(BDC\) касаются сторон \(AC\) и \(BC\) в точках \(K\) и \(P\) соответственно.
а) Докажите, что \(KP\) равно \(CD\).
б) Найдите, в каком отношении делит гипотенузу \(AB\) точка касания большей из этих окружностей, считая от вершины \(A\).

Ответ запишите в виде несрократимого отношения без пробелов, например "4:13".

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC = CD.
а) Докажите, что AB : BC = AP : PD.
б) Найдите площадь треугольника COD, где O - центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD - диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB = \(5\), а BC = \(5\sqrt{2}\).

Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке M. Окружность, описанная около треугольника CDM, пересекает отрезок AD в точке N и касается прямой BN.
а) Докажите, что треугольники BNC и CDN подобны.
б) Найдите AD, если CD=24, ∠BCD=∠DMA, а радиус окружности равен 13.

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M – середина гипотенузы AB, Н – точка пересечения прямых CM и DK.

а) Докажите, что CM⊥DK.

б) Найдите MH, если катеты AC=3, BC=4.

Две окружности касаются внешним образом в точке C. Прямая касается меньшей окружности в точке A, а большей — в точке B, отличной от A. Прямая AC второй раз пересекает большую окружность в точке D, прямая BC второй раз пересекает меньшую окружность в точке E.
а) Докажите, что прямая AE параллельна прямой BD.
б) Пусть L — отличная от D точка пересечения отрезка DE с большей окружностью. Найдите EL, если радиусы окружностей равны 2 и 5.

Высоты тупоугольного треугольника \(ABC\) с тупым углом \(ABC\) пересекаются в точке \(H\). Угол \(AHC\) равен 60°.

а) Докажите, что угол \(ABC\) равен 120°.

б) Найдите \(BH\), если \(AB=7\), \(BC=8\).

В трапеции \(ABCD\) с прямым углом \(A\) расположены две окружности. Одна из них касается меньшего основания \(BC\) и боковых сторон, а другая – большего основания \(AD\), боковых сторон и первой окружности. Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает большее основание в точке \(P\).

а) Докажите, что \(AP:PD=\sin D\);
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей \(\dfrac13\) и \(\dfrac43\).

Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите QN, если отрезки DP и PC перпендикулярны, AB = 21, BC = 4, CD = 20, AD = 17

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй – в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C. 
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1. 

 В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) известны стороны и диагональ: AB = 3, BC = CD = 5, AD = 8, AC = 7.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

б) Найдите BD.

Окружность с центром в точке O проходит через вершины C и D большей боковой стороны прямоугольной трапеции ABCD, пересекает второй раз основания AD и BC в точках L и P соответственно и касется боковой стороны AB в точке T.
а) Докажите, что угол COD в два раза больше угла CTD.
б) Найдите расстояние от точки T до прямой CD, если основания трапеции AD и BC равны соответственно 9 и 4.

Дана равнобедренная трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). Окружность с центром \(O\), построенная на боковой стороне \(AB\) как на диаметре, касается боковой стороны \(CD\) и второй раз пересекает большее основание \(AD\) в точке \(H\), точка \(Q\) - середина \(CD\).

А) Докажите, что четырехугольник \(DQOH\) - параллелограмм.

Б) Найдите \(AD\), если \(\angle{BAD} = 75\) и \(BC = 1\).

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM : MB = 1 : 2?

Сторона \(CD\) прямоугольника \(ABCD\) касается некоторой окружности в точке \(M\). Продолжение стороны \(AD\) пересекает эту окружность в точках \(P\) и \(Q\), причем точка \(P\) лежит между точками \(D\) и \(Q\). Прямая \(BC\) касается окружности, а точка \(Q\) лежит на прямой \(BM\).

а) Докажите, что \(\angle DMP=\angle CBM\).

б) Известно, что \(CM=17\) и \(CD=25\). Найдите сторону \(AD\).

Точка O — центр описанной около треугольника ABC окружности, точка I — центр вписанной в этот треугольник окружности, точка H — точка пересечения высот треугольника ABC. Известно, что ∠BAC=∠OBC+∠OCB.
а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
б) Найдите угол OIH, если ∠ABC=75°

В равнобедренной трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) в три раза больше основания \(BC\).

а) Докажите, что высота \(CH\) трапеции разбивает основание \(AD\) на отрезки, один из которых вдвое больше другого.

б) Найдите расстояние от вершины \(C\) до середины диагонали \(BD\), если \(AD=36\) и \(AC=26\).

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R=27. Известно, что AB=BC=CD=36.
а) Докажите, что прямые BC и AD параллельны.
б) Найдите AD.