24. Геометрические задачи на доказательство (Задачи ОГЭ)

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 3 и 12, BD = 6. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

Через точку \(O\) пересечения диагоналей параллелограмма \(ABCD\) проведена прямая, пересекающая стороны \(AB\) и \(CD\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Докажите, что \(AE = CF\).

В равностороннем треугольнике \(ABC\) точки \(M\), \(N\), \(K\) — середины сторон \(АВ\), \(ВС\), \(СА\) соответственно. Докажите, что треугольник \(MNK\) — равносторонний.

На сред­ней линии тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC вы­бра­ли про­из­воль­ную точку F. Докажите, что сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BFC и AFD равна по­ло­ви­не пло­ща­ди трапеции.

Биссектрисы углов \(A\) и \(B\) параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(F\) стороны \(CD\). Докажите, что \(F\) - середина \(CD\).

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность, и что продолжения сторон AD и BC пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.

В параллелограмме \(ABCD\) точка \(E\) - середина стороны \(AB\). Известно, что \(EC = ED\). Докажите, что данный параллелограмм - прямоугольник.

В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны CD. Известно, что AK=BK. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.