24. Геометрические задачи на доказательство (Задачи ОГЭ)

Окружности с цен­тра­ми в точ­ках Aи Bпе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках C и D, причём точки Aи Bлежат по одну сто­ро­ну от пря­мой CD. Докажите, что CD ⊥ AB.

Окружности с центрами в точках P иQ не имеют общих точек. Внутрення общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a : b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a : b.

Через точку \(O\) пересечения диагоналей параллелограмма \(ABCD\) проведена прямая, пересекающая стороны \(AB\) и \(CD\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Докажите, что \(AE = CF\).

Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.

На сред­ней линии тра­пе­ции ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC вы­бра­ли про­из­воль­ную точку F. Докажите, что сумма пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BFC и AFD равна по­ло­ви­не пло­ща­ди трапеции.

В параллелограмме \(ABCD\) точка \(E\) - середина стороны \(AB\). Известно, что \(EC = ED\). Докажите, что данный параллелограмм - прямоугольник.

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность, и что продолжения сторон AD и BC пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.

В тре­уголь­ни­ке \(ABC\) с тупым углом \(ACB\) про­ве­де­ны вы­со­ты \(AA_1\) и \(BB_1\). Докажите, что тре­уголь­ни­ки \(A_1CB_1\) и \(ACB\) подобны.

В треугольнике \(ABC\) с тупым углом \(ABC\) проведены высоты \(AA_1\) и \(CC_1\) . Докажите, что треугольники \(A_1BC_1\) и \(ABC\) подобны.

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.