« Геометрические задачи на доказательство»
В треугольнике \(ABC\) с тупым углом \(ABC\) проведены высоты \(AA_1\) и \(CC_1\) . Докажите, что треугольники \(A_1BC_1\) и \(ABC\) подобны.
Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны.
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Одно основание равнобедренной трапеции в два раза меньше другого и равно её боковой стороне. Докажите, что одна из диагоналей трапеции перпендикулярна другой её боковой стороне
В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны CD. Известно, что AK=BK. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
Через середину медианы \(AM\) и вершину \(B\) треугольника \(ABC\) проведена прямая, пересекающая сторону \(AC\) в точке \(K\). Докажите, что \(AK:KC=1:2\).
Докажите, что если окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках B и C, и биссектриса AD угла BAC пересекает меньшую из двух дуг BC в точке N, то CN — биссектриса угла ACB.
Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Докажите, что угол ACD прямой.
В параллелограмме \(ABCD\) точка \(E\) - середина стороны \(AB\). Известно, что \(EC = ED\). Докажите, что данный параллелограмм - прямоугольник.
Окружности с центрами в точках A и B пересекаются в точках C и D, причём точки A и B лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD ⊥ AB.
В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOB.
Окружности с центрами в точках \(I\) и \(J\) не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная у этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении \(m:n\). Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как \(m:n\).
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции.
Биссектрисы углов \(A\) и \(B\) параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(F\) стороны \(CD\). Докажите, что \(F\) - середина \(CD\).
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 3 и 12, BD = 6. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек. Внутрення общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a : b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a : b.
Через точку \(O\) пересечения диагоналей параллелограмма \(ABCD\) проведена прямая, пересекающая стороны \(AB\) и \(CD\) в точках \(E\) и \(F\) соответственно. Докажите, что \(AE = CF\).
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность, и что продолжения сторон AD и BC пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
В треугольнике \(ABC\) с тупым углом \(ACB\) проведены высоты \(AA_1\) и \(BB_1\). Докажите, что треугольники \(A_1CB_1\) и \(ACB\) подобны.
В окружности через середину O хорды AC проведена хорда BD так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды BD.
Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.
В равностороннем треугольнике \(ABC\) точки \(M\), \(N\), \(K\) — середины сторон \(АВ\), \(ВС\), \(СА\) соответственно. Докажите, что треугольник \(MNK\) — равносторонний.
