#3106: Банк ФИПИ 4A4AB8

Условие

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 48 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 10 часов. Ответ дайте в км/ч.

Для решения задачи определим, что:

- \( v \) — скорость теплохода в неподвижной воде (км/ч),
- \( v_{\text{теч}} = 4 \) км/ч — скорость течения реки,
- время стоянки — 5 часов,
- время на возвращение — 10 часов.

1. **Путь по течению:**

Когда теплоход идет по течению, его скорость относительно берега будет равна \( v + 4 \) км/ч. Расстояние до пункта назначения — 48 км. Время, которое он тратит на путь по течению:

\[
t_{\text{вниз}} = \frac{48}{v + 4}.
\]

2. **Путь против течения:**

Когда теплоход возвращается против течения, его скорость будет равна \( v - 4 \) км/ч. Время, которое он тратит на путь против течения:

\[
t_{\text{вверх}} = \frac{48}{v - 4}.
\]

3. **Общее время в пути:**

Общее время на путешествие, включая стоянку, составит 10 часов:

\[
t_{\text{вниз}} + t_{\text{вверх}} + 5 = 10.
\]

Подставим выражения для времени:

\[
\frac{48}{v + 4} + \frac{48}{v - 4} + 5 = 10.
\]

4. **Упростим уравнение:**

Вычитаем 5 с обеих сторон:

\[
\frac{48}{v + 4} + \frac{48}{v - 4} = 5.
\]

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для \( v + 4 \) и \( v - 4 \) — это \( (v + 4)(v - 4) = v^2 - 16 \). Тогда уравнение примет вид:

\[
\frac{48(v - 4) + 48(v + 4)}{v^2 - 16} = 5.
\]

Упростим числитель:

\[
48(v - 4) + 48(v + 4) = 48v - 192 + 48v + 192 = 96v.
\]

Тогда уравнение станет:

\[
\frac{96v}{v^2 - 16} = 5.
\]

5. **Решим уравнение:**

Умножим обе стороны на \( v^2 - 16 \):

\[
96v = 5(v^2 - 16).
\]

Раскроем скобки:

\[
96v = 5v^2 - 80.
\]

Переносим все члены на одну сторону:

\[
5v^2 - 96v - 80 = 0.
\]

6. **Решение квадратного уравнения:**

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[
D = (-96)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-80) = 9216 + 1600 = 10816.
\]

Корни уравнения:

\[
v = \frac{-(-96) \pm \sqrt{10816}}{2 \cdot 5} = \frac{96 \pm 104}{10}.
\]

Два возможных решения:

\[
v = \frac{96 + 104}{10} = \frac{200}{10} = 20 \quad \text{или} \quad v = \frac{96 - 104}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8.
\]

Так как скорость не может быть отрицательной, остаемся с решением \( v = 20 \) км/ч.

**Ответ: скорость теплохода в неподвижной воде равна 20 км/ч.**