#3109: Банк ФИПИ BCABB7

Задача о скорости катера

Условие задачи:

Катер в 10:00 вышел по течению реки из пункта А в пункт В, расположенный в 40 км от А. Пробыв 3 часа в пункте В, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 16:00 того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Обозначения:

v — собственная скорость катера (в км/ч). Скорость течения реки равна 3 км/ч. Расстояние между пунктами A и B — 40 км. Время, затраченное на путь туда и обратно, составило 6 часов (с 10:00 до 16:00). Время, которое катер провел в пункте В, составило 3 часа.

Решение:

Пусть собственная скорость катера равна v км/ч.

1. Время пути по течению: по течению скорость катера равна \( v + 3 \) км/ч, так как скорость течения реки 3 км/ч. Время, которое катер потратил на путь по течению, равно:

\( t_1 = \frac{40}{v + 3} \)

2. Время пути против течения: против течения скорость катера равна \( v - 3 \) км/ч. Время, которое катер потратил на путь против течения, равно:

\( t_2 = \frac{40}{v - 3} \)

3. Общее время пути катера:

Из условия задачи известно, что катер вернулся в пункт A в 16:00, а время выхода было в 10:00, так что общее время на путь туда и обратно равно 6 часов. Однако катер 3 часа находился в пункте В, следовательно, время на движение туда и обратно составляет:

6 - 3 = 3 часа.

Таким образом, суммарное время пути катера туда и обратно будет равно:

\( t_1 + t_2 = 3 \)

Подставим выражения для t1 и t2:

\( \frac{40}{v + 3} + \frac{40}{v - 3} = 3 \)

4. Решение уравнения:

Приведем выражение к общему знаменателю:

\( \frac{40(v - 3) + 40(v + 3)}{(v + 3)(v - 3)} = 3 \)

Упростим числитель:

\( 40(v - 3) + 40(v + 3) = 40v - 120 + 40v + 120 = 80v \)

Таким образом, уравнение принимает вид:

\( \frac{80v}{(v + 3)(v - 3)} = 3 \)

Знаменатель можно упростить:

\( (v + 3)(v - 3) = v^2 - 9 \)

Теперь у нас есть уравнение:

\( \frac{80v}{v^2 - 9} = 3 \)

Умножим обе стороны на \( v^2 - 9 \):

\( 80v = 3(v^2 - 9) \)

Раскроем скобки:

\( 80v = 3v^2 - 27 \)

Переносим все в одну сторону:

\( 3v^2 - 80v - 27 = 0 \)

5. Решение квадратного уравнения:

Решим квадратное уравнение \( 3v^2 - 80v - 27 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\( D = (-80)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-27) = 6400 + 324 = 6724 \)

Корни уравнения:

\( v = \frac{-(-80) \pm \sqrt{6724}}{2 \cdot 3} = \frac{80 \pm 82}{6} \)

Получаем два возможных решения:

\( v = \frac{80 + 82}{6} = \frac{162}{6} = 27 \) или \( v = \frac{80 - 82}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \)

Отрицательное значение скорости не имеет физического смысла, поэтому остаемся с v = 27 км/ч.

Ответ:

Собственная скорость катера равна 27 км/ч.