#3112: Банк ФИПИ BB421B

Условие

Заказ на изготовление 192 деталей первый рабочий выполняет на 4 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 4 детали больше?

x — количество деталей, которые второй рабочий изготавливает за 1 час. x + 4 — количество деталей, которые первый рабочий изготавливает за 1 час. t2 — время, которое второй рабочий тратит на выполнение заказа (в часах). t1 — время, которое первый рабочий тратит на выполнение того же заказа (в часах).

Решение:

Общее количество деталей, которое должен выполнить рабочий, равно 192. Так как второй рабочий изготавливает x деталей за 1 час, время, которое ему нужно для выполнения заказа, будет:

\( t_2 = \frac{192}{x} \)

А первый рабочий за 1 час изготавливает x + 4 деталей. Поэтому время, которое ему нужно для выполнения заказа, будет:

\( t_1 = \frac{192}{x + 4} \)

Из условия задачи известно, что первый рабочий выполняет заказ на 4 часа быстрее, чем второй, то есть:

\( t_2 - t_1 = 4 \)

Подставим выражения для t2 и t1 в это уравнение:

\( \frac{192}{x} - \frac{192}{x + 4} = 4 \)

Теперь умножим обе части уравнения на \( x(x + 4) \), чтобы избавиться от дробей:

\( 192(x + 4) - 192x = 4x(x + 4) \)

Упростим уравнение:

\( 192x + 768 - 192x = 4x^2 + 16x \)

Сокращаем одинаковые слагаемые:

\( 768 = 4x^2 + 16x \)

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы упростить его:

\( 192 = x^2 + 4x \)

Переносим все слагаемые в одну сторону:

\( x^2 + 4x - 192 = 0 \)

Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-192) = 16 + 768 = 784 \)

Корни уравнения:

\( x = \frac{-4 \pm \sqrt{784}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 28}{2}\)

Получаем два решения:

\( x = \frac{-4 + 28}{2} = 12 \)

или

\( x = \frac{-4 - 28}{2} = -16 \)

Отрицательное значение для количества деталей не имеет физического смысла, поэтому оставляем x = 12.

Ответ:

Второй рабочий изготавливает 12 деталей за 1 час.