Найдите все значения параметра \(a\), при которых система уравнений \(\begin{cases} \log_7(36 - y^2)=\log_7(36 - a^2x^2)\\x^2+y^2=2x+6y\end{cases}\) имеет ровно два различных решения.
Алексей
Стаж: 3 года 9 месяцев
Баллы: 0 (Новичок)
Ответы (1)
Дмитрий
Стаж: 5 лет 29 дней
Баллы: 7101 (Ас)
Верный ответ
А что ты пробовал делать?
Тут аргументы логарифмов равны, если логарифмы равны. Но при этом, аргументы должны быть положительны, чтобы логарифмы вообще существовали. Раз аргументы равны, то можно рассмотреть только один из них, который проще.
\(36-y^2>0\)
\(y^2<36\)
\(-6<y<6\)
Это условие задает горизонтальну полосу от -6 до 6 без границы. Выражение определено только внутри этой полосы.
Приравниваем аргументы и получаем уравнения двух прямых \(y=ax\) и \(y=-ax\)
Ну а второе уравнение надо преобразовать, выделив полные квадраты. Получится окружность. Только часть это окружности будет внутри полосы.
Ну и смотришь, как поворачиваются при разных \(a\) прямые, и сколько пересечений с окружностью внутри кольца.
Вот очень похожая задача с решением: https://uchus.online/tasks/show/6508
Загрузка...