#3704: Задача про случайные блуждания

Условие

Первый член бесконечной последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью p=0,8 на единицу больше предыдущего и с вероятностью 1-p на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что среди членов этой последовательности найдётся число -1?

Пусть х - вероятность когда-нибудь оказаться на 1 левее, чем текущая позиция (за любое количество шагов).
p - вероятность сделать шаг вправо.
Стоим в 0. Вероятность попасть в -1 равна х (не за 1 шаг, а когда-нибудь) - это введённая выше вероятность когда-то оказаться на 1 позицию левее текущей.
Можем сделать шаг влево в -1 сразу (с вероятностью 1-р) или сделать шаг вправо (с вероятностью p) и оказаться в 1, а уже оттуда когда-нибудь дважды сдвинуться на 1 левее - вероятность этого у нас будет x^2 (так как вероятность каждого такого сдвига мы приняли за х).
Получаем уравнение
x=(1-p)+p•x^2

px^2-x+1-p=0 - один корень 1, второй тогда (1-p)/p.
1 нам не подходит, поскольку вероятность никогда не оказаться на 1 позицию левее текущей не 0.
Значит, вероятность (1-p)/p

Для p=0,8 получаем P=(1-0,8)/0,8=0,2/0,8=1/4=0,25

Ответы (1)

А вот другое решение, которое даёт другой ответ. Вопрос - почему ответы разные?

2 решение:
Попасть из 0 в -1 можно:
1) или сразу сделав шаг влево (1-p= 0,2)
2) или сперва сделав шаг вправо, а потом 2 шага влево (p•(1-p)^2=0,8•0,2^2)
3) или сперва сделав 2 шага вправо, а потом 3 шага влево (p^2•(1-p)^3=0,8^2•0,2^3) и т.д. Потом всё это складываем, и получается сумма бесконечной геометрической прогрессии: S=1-p+p•(1-p)^2+p^2(1-p)^3+...=0,2+0,8•0,2^2+0,8^2•0,2^3+...

b1=(1-p)=0,2
q=p(1-p)=0,2•0,8
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна b1/(1-q). У нас получается S=(1-p)/1-p(1-p)=0,2/(1-0,2•0,8)=0,2/0,84=5/21

В это решении учитываются не все вариации при каждом количестве шагов, поэтому оно неверное.

Загрузка...