#3751: Показательное неравенство методом замены

1. Сделаем замену переменной.
Пусть \(t=2^x, \,t>0\).
Заметим, что знаменатель третьей дроби раскладывается на множители:
\[ 4^x - 6\cdot 2^x + 8 = (2^x)^2 - 6\cdot 2^x + 8 = t^2 - 6t + 8 = (t-2)(t-4) \]

Перепишем неравенство через \(t\):
\[ \dfrac{t}{t-4} + \dfrac{t+4}{t-2} + \dfrac{16}{(t-4)(t-2)} \leqslant 0 \]

2. Приведем дроби к общему знаменателю.
Общий знаменатель равен \((t−4)(t−2)\).
\[ \dfrac{t(t-2) + (t+4)(t-4) + 16}{(t-4)(t-2)} \leqslant 0 \]

3. Раскроем скобки и упростим числитель.
\[ t(t-2) = t^2 - 2t \]
\[ (t+4)(t-4) = t^2 - 16 \]

Подставим в числитель:
\[ \dfrac{(t^2 - 2t) + (t^2 - 16) + 16}{(t-4)(t-2)} \leqslant 0 \]

Приведем подобные слагаемые:
\[ \dfrac{2t^2 - 2t}{(t-4)(t-2)} \leqslant 0 \]

Вынесем общий множитель за скобки:
\[ \dfrac{2t(t-1)}{(t-4)(t-2)} \leqslant 0 \]

Разделим обе части неравенства на 2 (знак неравенства не меняется):
\[ \dfrac{t(t-1)}{(t-4)(t-2)} \leqslant 0 \]

4. Решим неравенство относительно tt методом интервалов.
Нули числителя: \(t=0\), \(t=1\)
Нули знаменателя: \(t=2\), \(t=4\) (точки выколотые).

Расставим знаки на числовой прямой. Нам нужны промежутки, где выражение ⩽0. С учетом условия \(t>0\), получаем:
\[ t \in (0; 1] \cup (2; 4) \]
(Точка 0 исключена условием \(2^x>0\), точка 1 включена, точки 2 и 4 выколоты знаменателем).

5. Сделаем обратную замену.

Первый случай:
\[ 0 < 2^x \leqslant 1 \]
Левая часть (\(0<2^x\)) выполняется при любых xx. Решаем правую:
\[ 2^x \leqslant 2^0 \]
\[ x \leqslant 0 \]

Второй случай:
\[ 2 < 2^x < 4 \]
\[ 2^1 < 2^x < 2^2 \]
\[ 1 < x < 2 \]

Объединяем решения:
\[ x \in (-\infty; 0] \cup (1; 2) \]

Ответ: \( x \in (-\infty; 0] \cup (1; 2) \)