#3752: показательное неравенство

1. Введем замену переменной.
Пусть \(t=3^x\), при этом \(t>0\)
Разложим знаменатель третьей дроби на множители:
\[ 9^x - 12\cdot 3^x + 27 = (3^x)^2 - 12\cdot 3^x + 27 = t^2 - 12t + 27 \]
Корни квадратного трехчлена (по теореме Виета) равны 3 и 9. Следовательно:
\[ t^2 - 12t + 27 = (t-3)(t-9) \]

Перепишем исходное неравенство через tt:
\[ \dfrac{t}{t-9} + \dfrac{t+4}{t-3} + \dfrac{42}{(t-9)(t-3)} \leqslant 0 \]

2. Приведем к общему знаменателю.
Общий знаменатель: (t−9)(t−3).
\[ \dfrac{t(t-3) + (t+4)(t-9) + 42}{(t-9)(t-3)} \leqslant 0 \]

3. Раскроем скобки в числителе.
\[ t(t-3) = t^2 - 3t \]
\[ (t+4)(t-9) = t^2 - 9t + 4t - 36 = t^2 - 5t - 36 \]

Сложим полученные выражения и прибавим 42:
\[ (t^2 - 3t) + (t^2 - 5t - 36) + 42 = 2t^2 - 8t + 6 \]

Неравенство принимает вид:
\[ \dfrac{2t^2 - 8t + 6}{(t-9)(t-3)} \leqslant 0 \]

4. Разложим числитель на множители.
Вынесем 2 за скобку: 2(t^2−4t+3).
Корни выражения в скобках — 1 и 3. Значит:
\[ 2t^2 - 8t + 6 = 2(t-1)(t-3) \]

Подставим обратно в дробь:
\[ \dfrac{2(t-1)(t-3)}{(t-9)(t-3)} \leqslant 0 \]

5. Упростим неравенство.
Заметим, что множитель (t−3) присутствует и в числителе, и в знаменателе. Мы можем сократить на него, но обязаны записать условие, что он не равен нулю (ОДЗ):
\[ t - 3 \neq 0 \Rightarrow t \neq 3 \]

После сокращения получаем:
\[ \dfrac{2(t-1)}{t-9} \leqslant 0, \quad \text{при } t \neq 3 \]

Разделим на 2:
\[ \dfrac{t-1}{t-9} \leqslant 0 \]

6. Решим методом интервалов для tt.
Нуль числителя: t=1 (точка закрашенная).
Нуль знаменателя: t=9 (точка выколотая).
Решение неравенства (t−1)(t−9)⩽0 — это промежуток [1;9).

Теперь учтем выколотую точку t≠3, которая попадает внутрь этого промежутка.
Итоговое решение для t:
\[ t \in [1; 3) \cup (3; 9) \]

7. Сделаем обратную замену \(t=3^x\).

Первый интервал:
\[ 1 \leqslant 3^x < 3 \]
Представим числа как степени тройки:
\[ 3^0 \leqslant 3^x < 3^1 \]
Так как основание 3>13>1, знаки неравенства сохраняются:
\[ 0 \leqslant x < 1 \]

Второй интервал:
\[ 3 < 3^x < 9 \]
\[ 3^1 < 3^x < 3^2 \]
\[ 1 < x < 2 \]

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: \( x \in [0; 1) \cup (1; 2) \)