#3890: 13 ЕГЭ из нового банка ФИПИ. Решение от ии

а) Решение уравнения

   1. Применим формулы:
   * Синус двойного угла: \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\).
      * Формула приведения: \(\cos(x + \pi) = -\cos x\).
   Уравнение принимает вид:
   \[2\sin x \cos x - \sqrt{2} \cos x = 0\] 
   2. Разложим на множители:
   Вынесем общий множитель \(\cos x\) за скобки:
   \[\cos x (2\sin x - \sqrt{2}) = 0\] 
   3. Решим получившуюся совокупность уравнений:
   * \(\cos x = 0\)
      \[x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\] 
      * \(2\sin x - \sqrt{2} = 0 \implies \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
      \[x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}\] 
   
Ответ для пункта а): \(\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{3\pi}{4} + 2\pi m\), где \(k, n, m \in \mathbb{Z}\).
------------------------------
б) Отбор корней на отрезке \(\left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right]\)
Отберем корни, принадлежащие указанному промежутку:

   1. Для \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\):
   * \(k = 3 \implies x = \frac{7\pi}{2}\) (входит, так как \(3\pi = \frac{6\pi}{2} < \frac{7\pi}{2} < \frac{9\pi}{2}\))
      * \(k = 4 \implies x = \frac{9\pi}{2}\) (входит — правая граница)
   2. Для \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\):
   * \(n = 2 \implies x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4} = 4,25\pi\) (входит, так как \(3\pi < 4,25\pi < 4,5\pi\))
   3. Для \(x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m\):
   * \(m = 1 \implies x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} = 2,75\pi\) (меньше \(3\pi\), не входит)
      * \(m = 2 \implies x = \frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{19\pi}{4} = 4,75\pi\) (больше \(4,5\pi\), не входит)
   
Ответ для пункта б): \(\frac{7\pi}{2}; \frac{17\pi}{4}; \frac{9\pi}{2}\).

Как быстрее отмечать эти точки на тригонометрической окружности?

Для отбора корней на окружности удобнее всего представить отрезок \(\left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right]\) как движение по дуге.

1. Рисуем отрезок (дугу)

* Точка \(3\pi\): Находится там же, где и \(\pi\) (слева на горизонтальной оси).
* Точка \(\frac{9\pi}{2}\): Это \(4,5\pi\). Находится там же, где и \(\frac{\pi}{2}\) (сверху на вертикальной оси).
* Дуга: Идем от \(3\pi\) против часовой стрелки до \(4\pi\) (справа), а затем еще четверть круга до \(4,5\pi\). Получается три четверти окружности.

2. Отмечаем серии точек
Наносим на эту дугу наши решения из пункта а:

   1. Вертикальная ось (\(\cos x = 0\)):
   * Нижняя точка: \(3\pi + \frac{\pi}{2} = \mathbf{\frac{7\pi}{2}}\) — попадает.
      * Верхняя точка: \(4\pi + \frac{\pi}{2} = \mathbf{\frac{9\pi}{2}}\) — это граница отрезка, попадает.
   2. Линия \(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) (горизонталь чуть выше центра):
   * Правая точка (\(\frac{\pi}{4}\)): На нашем круге это \(4\pi + \frac{\pi}{4} = \mathbf{\frac{17\pi}{4}}\) (\(4,25\pi\)) — попадает.
      * Левая точка (\(\frac{3\pi}{4}\)): На нашем круге это \(2\pi + \frac{3\pi}{4} = 2,75\pi\) (мало) или \(4\pi + \frac{3\pi}{4} = 4,75\pi\) (много) — не попадает.
   
Совет: Чтобы не ошибиться в вычислениях, всегда считайте от ближайшего «целого» числа \(\pi\). Например, точка в первой четверти на втором круге — это \(4\pi + \text{угол}\).