#3891: Показательное уравнение, решение ии

а) Решение уравнения

Приведем все степени к основанию $2$:
\[ 8^x = (2^3)^x = 2^{3x} \]
\[ 9 \cdot 2^{x+1} = 9 \cdot 2 \cdot 2^x = 18 \cdot 2^x \]
\[ 2^{5-x} = \frac{2^5}{2^x} = \frac{32}{2^x} \]

Уравнение принимает вид:
\[ 2^{3x} - 18 \cdot 2^x + \frac{32}{2^x} = 0 \]

Сделаем замену \( t = 2^x \), где \( t > 0 \):
\[ t^3 - 18t + \frac{32}{t} = 0 \]

Умножим на \( t \) (так как \( t \neq 0 \)):
\[ t^4 - 18t^2 + 32 = 0 \]

Пусть \( y = t^2 \) (\( y > 0 \)), тогда имеем квадратное уравнение:
\[ y^2 - 18y + 32 = 0 \]
По теореме Виета или через дискриминант:
\[ y_1 = 16, \quad y_2 = 2 \]

Вернемся к переменной \( t \):

\( t^2 = 16 \implies t = 4 \) (корень \( t = -4 \) не подходит, так как \( t > 0 \)) \( t^2 = 2 \implies t = \sqrt{2} \) (корень \( t = -\sqrt{2} \) не подходит)

Теперь найдем \( x \):

\( 2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2 \) \( 2^x = \sqrt{2} \implies 2^x = 2^{0{,}5} \implies x = 0{,}5 \)

Ответ для пункта а): \( 0{,}5; 2 \).

б) Отбор корней на отрезке \( [\log_5 2; \log_5 20] \)

Проверим корень \( x = 0{,}5 \):
Представим его в виде логарифма по основанию $5$:
\[ 0{,}5 = \log_5 5^{0{,}5} = \log_5 \sqrt{5} \]
Сравним \( \sqrt{5} \) с границами отрезка:
\[ 2 < \sqrt{5} < 20 \] (так как \( 2^2 = 4 \), а \( (\sqrt{5})^2 = 5 \) и \( 4 < 5 \)).
Значит, \( 0{,}5 \) принадлежит отрезку. Проверим корень \( x = 2 \):
Представим в виде логарифма:
\[ 2 = \log_5 5^2 = \log_5 25 \]
Сравним с правой границей:
\[ \log_5 25 > \log_5 20 \]
Значит, \( 2 \) не принадлежит отрезку.

Ответ для пункта б): \( 0{,}5 \).