#3892: Тригонометрическое уравнение из банка ФИПИ, решение ИИ

а) Решение уравнения

Раскроем синус суммы по формуле \(\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\):
\[ 2 \left( \sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6} \right) - 2\sqrt{3}\cos^2 x = \cos x - 2\sqrt{3} \]
\[ 2 \left( \sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos x \cdot \frac{1}{2} \right) - 2\sqrt{3}\cos^2 x - \cos x + 2\sqrt{3} = 0 \]
\[ \sqrt{3}\sin x + \cos x - 2\sqrt{3}\cos^2 x - \cos x + 2\sqrt{3} = 0 \]

Слагаемые \(\cos x\) и \(-\cos x\) взаимно уничтожаются:
\[ \sqrt{3}\sin x - 2\sqrt{3}\cos^2 x + 2\sqrt{3} = 0 \]

Разделим обе части на \(\sqrt{3}\) (так как \(\sqrt{3} \neq 0\)):
\[ \sin x - 2\cos^2 x + 2 = 0 \]

Используем основное тригонометрическое тождество \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\):
\[ \sin x - 2(1 - \sin^2 x) + 2 = 0 \]
\[ \sin x - 2 + 2\sin^2 x + 2 = 0 \]
\[ 2\sin^2 x + \sin x = 0 \]

Вынесем \(\sin x\) за скобки:
\[ \sin x (2\sin x + 1) = 0 \]

Отсюда получаем две совокупности:

\( \sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z} \) \( 2\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -0{,}5 \implies x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m; \quad k, m \in \mathbb{Z} \)

Ответ для пункта а): \( \pi n; -\frac{\pi}{6} + 2\pi k; -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m; \quad n, k, m \in \mathbb{Z} \).

б) Отбор корней на отрезке \( \left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right] \)

Изобразим отрезок и корни на тригонометрической окружности. Дуга идет от \(-2{,}5\pi\) до \(-\pi\) против часовой стрелки (от нижней точки круга до крайней левой, проходя через «ноль»).

Теперь уравнение решено верно, без лишних радикалов в дискриминанте.

а) Решение уравнения

Раскроем синус суммы по формуле \(\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\):
\[ 2 \left( \sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6} \right) - 2\sqrt{3}\cos^2 x = \cos x - 2\sqrt{3} \]
\[ 2 \left( \sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos x \cdot \frac{1}{2} \right) - 2\sqrt{3}\cos^2 x - \cos x + 2\sqrt{3} = 0 \]
\[ \sqrt{3}\sin x + \cos x - 2\sqrt{3}\cos^2 x - \cos x + 2\sqrt{3} = 0 \]

Слагаемые \(\cos x\) и \(-\cos x\) взаимно уничтожаются:
\[ \sqrt{3}\sin x - 2\sqrt{3}\cos^2 x + 2\sqrt{3} = 0 \]

Разделим всё уравнение на \(\sqrt{3}\) (\(\sqrt{3} \neq 0\)):
\[ \sin x - 2\cos^2 x + 2 = 0 \]

Используем основное тригонометрическое тождество \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\):
\[ \sin x - 2(1 - \sin^2 x) + 2 = 0 \]
\[ \sin x - 2 + 2\sin^2 x + 2 = 0 \]
\[ 2\sin^2 x + \sin x = 0 \implies \sin x (2\sin x + 1) = 0 \]

Получаем две серии решений:

\[ \sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z} \] \[ 2\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -0{,}5 \implies x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m, \quad k, m \in \mathbb{Z} \]

Ответ для пункта а): \( \pi n; -\frac{\pi}{6} + 2\pi k; -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m, \quad n, k, m \in \mathbb{Z} \).

б) Отбор корней на отрезке \( \left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right] \)

Отберем корни, принадлежащие указанному промежутку.

Серия \( x = \pi n \): При \( n = -2 \): \( x = -2\pi \). Входит в отрезок: \( -2{,}5\pi \le -2\pi \le -\pi \). При \( n = -1 \): \( x = -\pi \). Входит в отрезок (граничная точка). Серия \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \): При \( k = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6} = -2\frac{1}{6}\pi \). Входит в отрезок: \( -2{,}5\pi \le -2{,}16\dots\pi \le -\pi \). Серия \( x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m \): При \( m = -1 \): \( x = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{17\pi}{6} \). Не входит (меньше \( -2{,}5\pi \)). При \( m = 0 \): \( x = -\frac{5\pi}{6} \). Не входит (больше \( -\pi \)).

Ответ для пункта б): \( -2{,}5\pi \) не является корнем, итоговые точки: \( -\frac{13\pi}{6}; -2\pi; -\pi \).