#3893: Тригонометрическое уравнение из банка ФИПИ, решение ИИ

Это уравнение решается через формулу приведения и косинус двойного угла. Вот пошаговый разбор.

а) Решение уравнения

Используем формулу приведения \(\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x\):
\[ \cos 2x + \sqrt{3}\cos x + 1 = 0 \]

Разложим \(\cos 2x\) по формуле \(2\cos^2 x - 1\):
\[ 2\cos^2 x - 1 + \sqrt{3}\cos x + 1 = 0 \]
\[ 2\cos^2 x + \sqrt{3}\cos x = 0 \]

Вынесем \(\cos x\) за скобки:
\[ \cos x (2\cos x + \sqrt{3}) = 0 \]

Получаем две серии решений:

\[ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] \[ 2\cos x + \sqrt{3} = 0 \implies \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \]

Ответ для пункта а): \( \frac{\pi}{2} + \pi n; \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \).

б) Отбор корней на отрезке \( \left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right] \)

Отметим границы отрезка и корни на окружности. Отрезок идет от \(-3\pi\) до \(-1{,}5\pi\) против часовой стрелки (от крайней левой точки круга, делаем полный оборот назад и останавливаемся в верхней точке).

Серия \( \frac{\pi}{2} + \pi n \): При \( n = -3 \): \( x = -2{,}5\pi \). Входит. При \( n = -2 \): \( x = -1{,}5\pi \). Входит (граница). Серия \( x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \): \( x = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{17\pi}{6} \). Входит (так как \( -3\pi < -2\frac{5}{6}\pi \)). Точка \( \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6} \) не входит, она больше, чем \( -1{,}5\pi \).

Ответ для пункта б): \( -\frac{17\pi}{6}; -2{,}5\pi; -1{,}5\pi \).