#3894: Смешанное уравнение из банка ФИПИ, решение ИИ

Это показательное уравнение легко сводится к квадратному через замену.

а) Решение уравнения

Приведем уравнение к одному основанию 4:
\[ (4^2)^{\sin x} - 6 \cdot 4^{\sin x} + 8 = 0 \]
\[ (4^{\sin x})^2 - 6 \cdot 4^{\sin x} + 8 = 0 \]

Сделаем замену \( t = 4^{\sin x} \). Так как \( -1 \le \sin x \le 1 \), то область значений \( t \) ограничена: \( 4^{-1} \le t \le 4^1 \), то есть \( 0{,}25 \le t \le 4 \).

Получаем квадратное уравнение:
\[ t^2 - 6t + 8 = 0 \]
По теореме Виета:
\[ t_1 = 2, \quad t_2 = 4 \]
Оба корня удовлетворяют условию \( 0{,}25 \le t \le 4 \).

Вернемся к переменной \( x \):

\[ 4^{\sin x} = 2 \implies 2^{2\sin x} = 2^1 \implies 2\sin x = 1 \implies \sin x = 0{,}5 \]
Отсюда две серии:
\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \] \[ 4^{\sin x} = 4 \implies \sin x = 1 \]
Отсюда серия:
\[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \]

Ответ для пункта а): \( \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad n, k, m \in \mathbb{Z} \).

б) Отбор корней на отрезке \( \left[-5\pi; -\frac{7\pi}{2}\right] \)

Отметим границы отрезка на окружности. Точка \( -5\pi \) находится слева (там же, где \( \pi \)). Двигаясь против часовой стрелки, мы проходим через низ (\( -4{,}5\pi \)), правую точку (\( -4\pi \)) и заканчиваем вверху (\( -3{,}5\pi \)). Дуга охватывает III, IV и I четверти.

Серия \( \sin x = 1 \): При \( m = -2 \): \( x = -3{,}5\pi \). Попадает на границу. Серия \( \sin x = 0{,}5 \): В I четверти: \( x = -4\pi + \frac{\pi}{6} = -\frac{23\pi}{6} \). Попадает в отрезок. Во II четверти точки на этом витке нет, так как она была бы левее \( -5\pi \) или правее \( -3{,}5\pi \). Проверим: \( -4\pi + \frac{5\pi}{6} = -\frac{19\pi}{6} = -3{,}16\pi \) (не входит, больше \( -3{,}5\pi \)).

Ответ для пункта б): \( -\frac{23\pi}{6}; -3{,}5\pi \)