#3895: Тригонометрическое уравнение из банка ФИПИ, решение ИИ

Это уравнение сводится к квадратному относительно косинуса после раскрытия синуса суммы.
а) Решение уравнения
Раскроем синус суммы по формуле \(\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\):
\[ \sqrt{2} \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right) + 2\sin^2 x = \sin x + 2 \]
\[ \sqrt{2} \left( \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\sin^2 x - \sin x - 2 = 0 \]
\[ \sin x + \cos x + 2\sin^2 x - \sin x - 2 = 0 \]
Заметим, что \(\sin x\) и \(-\sin x\) взаимно уничтожаются:
\[ \cos x + 2\sin^2 x - 2 = 0 \]
Используем основное тригонометрическое тождество \(2\sin^2 x = 2(1 - \cos^2 x)\):
\[ \cos x + 2 - 2\cos^2 x - 2 = 0 \]
\[ -2\cos^2 x + \cos x = 0 \]
\[ \cos x (2\cos x - 1) = 0 \]
Получаем две серии решений:

   1. \[ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \]
   2. \[ 2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 0{,}5 \implies x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \]

Ответ для пункта а): \( \frac{\pi}{2} + \pi n; \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \).
------------------------------
б) Отбор корней на отрезке \( \left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right] \)
Отметим отрезок на окружности. Он начинается в точке \(2\pi\) (крайняя правая) и идет против часовой стрелки на три четверти круга до точки \(3{,}5\pi\) (нижняя точка).

   1. Серия \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \):
   * При \( n = 2 \): \( x = 2\pi + \frac{\pi}{2} = 2{,}5\pi \). Входит.
      * При \( n = 3 \): \( x = 3\pi + \frac{\pi}{2} = 3{,}5\pi \). Входит (правая граница).
   2. Серия \( x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k \):
   * При \( k = 1 \): \( x = 2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3} \). Входит (это примерно \( 2{,}33\pi \)).
      * Точка \( 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \) не входит, она меньше \( 2\pi \).
   
Ответ для пункта б): \( \frac{7\pi}{3}; 2{,}5\pi; 3{,}5\pi \)