#3896: Тригонометрическое уравнение из банка ФИПИ, решение ИИ

а) Решение уравнения

Используем нечетность синуса \(\sin(-x) = -\sin x\):
\[ -2\sin x + 2\sqrt{3}\sin x - 4\cos^2 x = \sqrt{3} - 4 \]
\[ 2(\sqrt{3} - 1)\sin x - 4\cos^2 x - \sqrt{3} + 4 = 0 \]

Заменим \(\cos^2 x\) на \(1 - \sin^2 x\):
\[ 2(\sqrt{3} - 1)\sin x - 4(1 - \sin^2 x) - \sqrt{3} + 4 = 0 \]
\[ 2(\sqrt{3} - 1)\sin x - 4 + 4\sin^2 x - \sqrt{3} + 4 = 0 \]
\[ 4\sin^2 x + 2(\sqrt{3} - 1)\sin x - \sqrt{3} = 0 \]

Пусть \(t = \sin x\), где \(|t| \le 1\):
\[ 4t^2 + 2(\sqrt{3} - 1)t - \sqrt{3} = 0 \]
Найдем дискриминант:
\[ D = [2(\sqrt{3} - 1)]^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-\sqrt{3}) = 4(3 - 2\sqrt{3} + 1) + 16\sqrt{3} = 16 - 8\sqrt{3} + 16\sqrt{3} = 16 + 8\sqrt{3} \]
Заметим, что \(16 + 8\sqrt{3} = 4(4 + 2\sqrt{3}) = 4(\sqrt{3} + 1)^2\).
Тогда \(\sqrt{D} = 2(\sqrt{3} + 1)\).

Корни:
\[ t_1 = \frac{-2(\sqrt{3} - 1) + 2(\sqrt{3} + 1)}{8} = \frac{-2\sqrt{3} + 2 + 2\sqrt{3} + 2}{8} = \frac{4}{8} = 0{,}5 \]
\[ t_2 = \frac{-2(\sqrt{3} - 1) - 2(\sqrt{3} + 1)}{8} = \frac{-2\sqrt{3} + 2 - 2\sqrt{3} - 2}{8} = \frac{-4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Возвращаемся к переменной \(x\):

\[ \sin x = 0{,}5 \implies x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \] \[ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m, \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi p, \quad m, p \in \mathbb{Z} \]

Ответ для пункта а): \( \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k; -\frac{\pi}{3} + 2\pi m; -\frac{2\pi}{3} + 2\pi p, \quad n, k, m, p \in \mathbb{Z} \).

б) Отбор корней на отрезке \( \left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right] \)

Отметим дугу от \(2\pi\) (правая точка) до \(3{,}5\pi\) (нижняя точка) против часовой стрелки. Она охватывает I, II и III четверти.

Серия \( \sin x = 0{,}5 \): \( x = 2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} \) (входит, I четверть). \( x = 2\pi + \frac{5\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} \) (входит, II четверть). Серия \( \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \): \( x = 2\pi + \frac{4\pi}{3} = \frac{10\pi}{3} \) (входит, III четверть). Точка \( 2\pi + \frac{5\pi}{3} = \frac{11\pi}{3} \) не входит, она больше \( 3{,}5\pi \).

Ответ для пункта б): \( \frac{13\pi}{6}; \frac{17\pi}{6}; \frac{10\pi}{3} \).