#3897: Показательное уравнение из банка ФИПИ, решает ИИ

Это уравнение решается переходом к основанию 3 и последующей заменой.

а) Решение уравнения

Приведем все степени к основанию 3:
\[ 27^x = (3^3)^x = 3^{3x} \]
\[ 4 \cdot 3^{x+2} = 4 \cdot 3^2 \cdot 3^x = 36 \cdot 3^x \]
\[ 3^{5-x} = \frac{3^5}{3^x} = \frac{243}{3^x} \]

Уравнение принимает вид:
\[ 3^{3x} - 36 \cdot 3^x + \frac{243}{3^x} = 0 \]

Сделаем замену \( t = 3^x \), где \( t > 0 \):
\[ t^3 - 36t + \frac{243}{t} = 0 \]

Умножим на \( t \) (так как \( t \neq 0 \)):
\[ t^4 - 36t^2 + 243 = 0 \]

Пусть \( y = t^2 \) (\( y > 0 \)), тогда имеем квадратное уравнение:
\[ y^2 - 36y + 243 = 0 \]
По теореме Виета или через дискриминант:
\[ y_1 = 27, \quad y_2 = 9 \]

Вернемся к переменной \( t \):

\( t^2 = 27 \implies t = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} = 3^{1{,}5} \) (отрицательный корень не подходит) \( t^2 = 9 \implies t = 3 \) (отрицательный корень не подходит)

Теперь найдем \( x \):

\( 3^x = 3^{1{,}5} \implies x = 1{,}5 \) \( 3^x = 3^1 \implies x = 1 \)

Ответ для пункта а): \( 1; 1{,}5 \).

б) Отбор корней на отрезке \( [\log_7 4; \log_7 16] \)

Проверим корень \( x = 1 \):
Представим его в виде логарифма: \( 1 = \log_7 7 \).
Сравним: \( 4 < 7 < 16 \), значит \( \log_7 4 < \log_7 7 < \log_7 16 \).
Корень \( 1 \) принадлежит отрезку. Проверим корень \( x = 1{,}5 \):
Представим в виде логарифма: \( 1{,}5 = \log_7 7^{1{,}5} = \log_7 \sqrt{7^3} = \log_7 \sqrt{343} \).
Сравним число под логарифмом с правой границей:
\( 16 = \sqrt{256} \).
Так как \( 343 > 256 \), то \( \sqrt{343} > 16 \), а значит \( \log_7 \sqrt{343} > \log_7 16 \).
Корень \( 1{,}5 \) не принадлежит отрезку.

Ответ для пункта б): \( 1 \)