#3898: Тригонометрическое уравнение из банка ФИПИ, решение ИИ

а) Решение уравнения

Заменим \(\cos^2 x\) на \(1 - \sin^2 x\):
\[ 2\sin^3 x = \sqrt{2}(1 - \sin^2 x) + 2\sin x \]
\[ 2\sin^3 x = \sqrt{2} - \sqrt{2}\sin^2 x + 2\sin x \]

Перенесем всё в левую часть и сгруппируем слагаемые:
\[ 2\sin^3 x + \sqrt{2}\sin^2 x - 2\sin x - \sqrt{2} = 0 \]
\[ (2\sin^3 x - 2\sin x) + (\sqrt{2}\sin^2 x - \sqrt{2}) = 0 \]
\[ 2\sin x (\sin^2 x - 1) + \sqrt{2}(\sin^2 x - 1) = 0 \]
\[ (\sin^2 x - 1)(2\sin x + \sqrt{2}) = 0 \]

Разложим первую скобку как разность квадратов:
\[ (\sin x - 1)(\sin x + 1)(2\sin x + \sqrt{2}) = 0 \]

Получаем три случая:

\[ \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] \[ \sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \]
(Серии 1 и 2 можно объединить в одну: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \)) \[ 2\sin x = -\sqrt{2} \implies \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m, \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi p; \quad m, p \in \mathbb{Z} \]

Ответ для пункта а): \( \frac{\pi}{2} + \pi n; -\frac{\pi}{4} + 2\pi m; -\frac{3\pi}{4} + 2\pi p, \quad n, m, p \in \mathbb{Z} \).

б) Отбор корней на отрезке \( \left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right] \)

Отметим границы отрезка на окружности. Идем от точки \(-4\pi\) (крайняя правая) против часовой стрелки до точки \(-2{,}5\pi\) (нижняя точка). Дуга проходит через три четверти круга.

Серия \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \): При \( n = -4 \): \( x = -4\pi + 0{,}5\pi = -3{,}5\pi \) (или \( -\frac{7\pi}{2} \)). Входит. При \( n = -3 \): \( x = -3\pi + 0{,}5\pi = -2{,}5\pi \) (или \( -\frac{5\pi}{2} \)). Входит (граница). Серия \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \): В III четверти: \( x = -4\pi + \frac{5\pi}{4} = -\frac{11\pi}{4} \) (это \( -2{,}75\pi \)). Входит. В IV четверти точка на этом витке — это \( -4\pi + \frac{7\pi}{4} = -2{,}25\pi \). Не входит, так как больше \( -2{,}5\pi \).

Ответ для пункта б): \( -\frac{7\pi}{2}; -\frac{11\pi}{4}; -\frac{5\pi}{2} \)