#3900: Смешанное уравнение из банка ФИПИ, решение ИИ

Это уравнение с логарифмом, которое легко сводится к тригонометрическому. Будь внимателен с ОДЗ: выражение под логарифмом должно быть положительным, но так как оно приравнивается к \(9^x = 3^{2x}\), это условие выполнится автоматически.

а) Решение уравнения

По определению логарифма:
\[ 3^{2x} + 5\sqrt{2}\sin x - 6\cos^2 x - 2 = 9^x \]
Так как \( 9^x = (3^2)^x = 3^{2x} \), уравнение упрощается:
\[ 3^{2x} + 5\sqrt{2}\sin x - 6\cos^2 x - 2 = 3^{2x} \]
\[ 5\sqrt{2}\sin x - 6\cos^2 x - 2 = 0 \]

Заменим \(\cos^2 x\) на \(1 - \sin^2 x\):
\[ 5\sqrt{2}\sin x - 6(1 - \sin^2 x) - 2 = 0 \]
\[ 5\sqrt{2}\sin x - 6 + 6\sin^2 x - 2 = 0 \]
\[ 6\sin^2 x + 5\sqrt{2}\sin x - 8 = 0 \]

Пусть \(t = \sin x\), где \(|t| \le 1\):
\[ 6t^2 + 5\sqrt{2}t - 8 = 0 \]
\[ D = (5\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-8) = 50 + 192 = 242 = (11\sqrt{2})^2 \]

Корни:
\[ t_1 = \frac{-5\sqrt{2} + 11\sqrt{2}}{12} = \frac{6\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ t_2 = \frac{-5\sqrt{2} - 11\sqrt{2}}{12} = \frac{-16\sqrt{2}}{12} = -\frac{4\sqrt{2}}{3} \]
Так как \( \sqrt{2} \approx 1{,}41 \), то \( t_2 \approx -1{,}88 \), что меньше \(-1\). Корень \(t_2\) не подходит.

Возвращаемся к \(x\):
\[ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \]

Ответ для пункта а): \( \frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \).

б) Отбор корней на отрезке \( \left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right] \)

Отметим границы отрезка. Идем от \(-2\pi\) (крайняя правая точка) против часовой стрелки до \(-0{,}5\pi\) (нижняя точка). Дуга охватывает I, II и III четверти.

Серия \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \): При \( n = -1 \): \( x = -2\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4} \). Входит в отрезок. Серия \( x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \): При \( k = -1 \): \( x = -2\pi + \frac{3\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4} \). Входит в отрезок.

Ответ для пункта б): \( -\frac{7\pi}{4}; -\frac{5\pi}{4} \)