#3902: Тригонометрическое уравнение из банка ФИПИ, решение ИИ

Это уравнение решается через использование нечётности синуса и замену косинуса двойного угла.

а) Решение уравнения

Используем нечётность синуса \(\sin(-x) = -\sin x\):
\[ \cos 2x + 3\sin x - 2 = 0 \]

Разложим \(\cos 2x\) по формуле \(1 - 2\sin^2 x\), чтобы всё уравнение зависело от синуса:
\[ 1 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0 \]
\[ -2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0 \]
\[ 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0 \]

Сделаем замену \( t = \sin x \), где \( |t| \le 1 \):
\[ 2t^2 - 3t + 1 = 0 \]
Найдем корни через дискриминант:
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \]
\[ t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1 \]
\[ t_2 = \frac{3 - 1}{4} = 0{,}5 \]

Возвращаемся к переменной \(x\):

\[ \sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] \[ \sin x = 0{,}5 \implies x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m; \quad k, m \in \mathbb{Z} \]

Ответ для пункта а): \( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, \quad n, k, m \in \mathbb{Z} \).

б) Отбор корней на отрезке \( \left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right] \)

Отметим дугу от \(3\pi\) (крайняя левая точка) до \(4{,}5\pi\) (верхняя точка) против часовой стрелки. Дуга проходит через III, IV и I четверти.

Серия \( \sin x = 1 \): При \( n = 2 \): \( x = 4{,}5\pi \) (или \( \frac{9\pi}{2} \)). Это правая граница отрезка. Подходит. Серия \( \sin x = 0{,}5 \): В I четверти: \( x = 4\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{25\pi}{6} \). Попадает в отрезок. Подходит. Во II четверти: ближайший корень \( 2\pi + \frac{5\pi}{6} = 2\frac{5}{6}\pi \) меньше \( 3\pi \), а корень \( 4\pi + \frac{5\pi}{6} = 4\frac{5}{6}\pi \) больше \( 4{,}5\pi \). Не подходят.

Ответ для пункта б): \( \frac{25\pi}{6}; \frac{9\pi}{2} \)