#3903: Тригонометрическое уравнение из банка ФИПИ, решение ИИ

Это уравнение решается через группировку и использование формулы понижения степени (или косинуса двойного угла).

а) Решение уравнения

Сгруппируем первое и третье слагаемые:
\[ (\sin x \cdot \cos 2x + \sin x) + \sqrt{2}\cos^2 x = 0 \]
\[ \sin x (\cos 2x + 1) + \sqrt{2}\cos^2 x = 0 \]

Используем формулу косинуса двойного угла \( \cos 2x + 1 = 2\cos^2 x \):
\[ \sin x \cdot 2\cos^2 x + \sqrt{2}\cos^2 x = 0 \]
\[ \cos^2 x (2\sin x + \sqrt{2}) = 0 \]

Получаем две серии решений:

\[ \cos^2 x = 0 \implies \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] \[ 2\sin x + \sqrt{2} = 0 \implies \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m, \quad k, m \in \mathbb{Z} \]

Ответ для пункта а): \( \frac{\pi}{2} + \pi n; -\frac{\pi}{4} + 2\pi k; -\frac{3\pi}{4} + 2\pi m, \quad n, k, m \in \mathbb{Z} \).

б) Отбор корней на отрезке \( \left[1{,}5\pi; 3\pi\right] \)

Отметим дугу от \( 1{,}5\pi \) (нижняя точка) до \( 3\pi \) (крайняя левая точка) против часовой стрелки. Дуга охватывает IV, I и II четверти.

Серия \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \): При \( n = 1 \): \( x = 1{,}5\pi \). Входит (левая граница). При \( n = 2 \): \( x = 2{,}5\pi \). Входит (верхняя точка). Серия \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \): В IV четверти: \( x = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \) (или \( 1{,}75\pi \)). Входит. В III четверти на этом витке точек нет (точка \( 1{,}25\pi \) меньше \( 1{,}5\pi \), а точка \( 3{,}25\pi \) больше \( 3\pi \)).

Ответ для пункта б): \( 1{,}5\pi; \frac{7\pi}{4}; 2{,}5\pi \)