#3904: Тригонометрическое уравнение из банка ФИПИ, решение ИИ

Это уравнение решается через раскрытие синуса суммы и сведение к квадратному относительно косинуса.

а) Решение уравнения

Раскроем синус суммы по формуле \(\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\):
\[ 2 \left( \sin 2x \cos \frac{\pi}{6} + \cos 2x \sin \frac{\pi}{6} \right) - \cos x = \sqrt{3}\sin 2x - 1 \]
\[ 2 \left( \sin 2x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos 2x \cdot \frac{1}{2} \right) - \cos x = \sqrt{3}\sin 2x - 1 \]
\[ \sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x - \cos x = \sqrt{3}\sin 2x - 1 \]

Заметим, что \(\sqrt{3}\sin 2x\) в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются:
\[ \cos 2x - \cos x + 1 = 0 \]

Используем формулу косинуса двойного угла \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\):
\[ 2\cos^2 x - 1 - \cos x + 1 = 0 \]
\[ 2\cos^2 x - \cos x = 0 \]

Вынесем \(\cos x\) за скобки:
\[ \cos x (2\cos x - 1) = 0 \]

Получаем две серии решений:

\[ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] \[ 2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 0{,}5 \implies x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \]

Ответ для пункта а): \( \frac{\pi}{2} + \pi n; \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \).

б) Отбор корней на отрезке \( \left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right] \)

Отметим границы отрезка на окружности. Точка \(2{,}5\pi\) находится вверху, идем против часовой стрелки до точки \(4\pi\) (крайняя правая). Дуга охватывает II, III и IV четверти.

Серия \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \): При \( n = 2 \): \( x = 2{,}5\pi \). Входит (граница). При \( n = 3 \): \( x = 3{,}5\pi \). Входит. Серия \( x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k \): При \( k = 2 \): \( x = 4\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{3} \) (или \( 3\frac{2}{3}\pi \)). Входит. Точка \( 4\pi + \frac{\pi}{3} \) больше границы, а точки на предыдущем витке меньше \( 2{,}5\pi \).

Ответ для пункта б): \( 2{,}5\pi; 3{,}5\pi; \frac{11\pi}{3} \)