#3905: Смешанное уравнение из банка ФИПИ, решение ИИ

Это уравнение решается через приведение к одному основанию и использование формул приведения.

а) Решение уравнения

Приведем обе части уравнения к основанию 7:
\[ \left( 7^{-2} \right)^{\sin(x+\pi)} = 7^{2\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)} \]

Используем формулы приведения:

\( \sin(x+\pi) = -\sin x \) \( \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos x \)

Подставим их в уравнение:
\[ 7^{-2 \cdot (-\sin x)} = 7^{2\sqrt{3}\cos x} \]
\[ 7^{2\sin x} = 7^{2\sqrt{3}\cos x} \]

Приравняем показатели степеней:
\[ 2\sin x = 2\sqrt{3}\cos x \]
\[ \sin x = \sqrt{3}\cos x \]

Разделим обе части на \(\cos x\) (заметим, что если \(\cos x = 0\), то и \(\sin x = 0\), что невозможно по основному тождеству):
\[ \frac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3} \implies \tan x = \sqrt{3} \]

Решение уравнения:
\[ x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \]

Ответ для пункта а): \( \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).

б) Отбор корней на отрезке \( \left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right] \)

Отметим границы отрезка на окружности. Точка \( 3\pi \) находится слева, идем против часовой стрелки до точки \( 4{,}5\pi \) (верхняя точка). Дуга охватывает III, IV и I четверти.

При \( n = 3 \):
\[ x = \frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{10\pi}{3} \]
Проверим: \( 3\pi \le 3\frac{1}{3}\pi \le 4{,}5\pi \). Подходит. При \( n = 4 \):
\[ x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3} \]
Проверим: \( 3\pi \le 4\frac{1}{3}\pi \le 4{,}5\pi \). Подходит.

Ответ для пункта б): \( \frac{10\pi}{3}; \frac{13\pi}{3} \).