#3906: Тригонометрическое уравнение из банка ФИПИ, решение ИИ

Раскрываем синус суммы, упрощаем и переходим к квадратному уравнению через формулу двойного угла.

а) Решение уравнения

Раскроем синус суммы по формуле \(\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\):
\[ \sin x + 2 \left( \sin 2x \cos \frac{\pi}{6} + \cos 2x \sin \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3}\sin 2x + 1 \]
\[ \sin x + 2 \left( \sin 2x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos 2x \cdot \frac{1}{2} \right) = \sqrt{3}\sin 2x + 1 \]
\[ \sin x + \sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x = \sqrt{3}\sin 2x + 1 \]

Слагаемые \(\sqrt{3}\sin 2x\) взаимно уничтожаются:
\[ \sin x + \cos 2x = 1 \]

Используем формулу косинуса двойного угла через синус \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\):
\[ \sin x + 1 - 2\sin^2 x = 1 \]
\[ \sin x - 2\sin^2 x = 0 \]
\[ \sin x (1 - 2\sin x) = 0 \]

Отсюда получаем две серии решений:

\[ \sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z} \] \[ 1 - 2\sin x = 0 \implies \sin x = 0{,}5 \implies x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, \quad k, m \in \mathbb{Z} \]

Ответ для пункта а): \( \pi n; \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, \quad n, k, m \in \mathbb{Z} \).

б) Отбор корней на отрезке \( \left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right] \)

Отметим границы отрезка на окружности. Идем от точки \(-3{,}5\pi\) (верхняя точка) до точки \(-2\pi\) (крайняя правая) против часовой стрелки. Дуга охватывает II, III и IV четверти.

Серия \( x = \pi n \): При \( n = -3 \): \( x = -3\pi \). Входит. При \( n = -2 \): \( x = -2\pi \). Входит (граница). Серия \( \sin x = 0{,}5 \): Во II четверти: \( x = -3\pi - \frac{\pi}{6} = -\frac{19\pi}{6} \) (или \( -3{,}16\pi \)). Входит. В I четверти на этом витке корень \( -4\pi + \frac{\pi}{6} = -3{,}83\pi \) не входит (меньше \( -3{,}5\pi \)).

Ответ для пункта б): \( -\frac{19\pi}{6}; -3\pi; -2\pi \)