#3907: Тригонометрическое уравнение из банка ФИПИ, решение ИИ

Это уравнение решается через формулу приведения и переход к синусу через двойной угол. Лови оформленное решение!

а) Решение уравнения

Используем формулу приведения \(\sin(x + \pi) = -\sin x\):
\[ \cos 2x - \sqrt{2}(-\sin x) - 1 = 0 \]
\[ \cos 2x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0 \]

Разложим \(\cos 2x\) по формуле \(1 - 2\sin^2 x\):
\[ 1 - 2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0 \]
\[ -2\sin^2 x + \sqrt{2}\sin x = 0 \]

Вынесем \(\sin x\) за скобки:
\[ \sin x (\sqrt{2} - 2\sin x) = 0 \]

Получаем две серии решений:

\[ \sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z} \] \[ 2\sin x = \sqrt{2} \implies \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m; \quad k, m \in \mathbb{Z} \]

Ответ для пункта а): \( \pi n; \frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi m, \quad n, k, m \in \mathbb{Z} \).

б) Отбор корней на отрезке \( \left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right] \)

Отметим границы отрезка на окружности. Точка \(-3{,}5\pi\) (или \(-\frac{7\pi}{2}\)) находится вверху. Двигаемся против часовой стрелки до точки \(-2\pi\) (крайняя правая). Дуга проходит через II, III и IV четверти.

Серия \( x = \pi n \): При \( n = -3 \): \( x = -3\pi \). Входит в отрезок. При \( n = -2 \): \( x = -2\pi \). Входит (правая граница). Серия \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \): Во II четверти: \( x = -4\pi + \frac{3\pi}{4} = -\frac{13\pi}{4} \) (или \( -3{,}25\pi \)). Входит в отрезок. В I четверти на этом витке корень \( -4\pi + \frac{\pi}{4} = -3{,}75\pi \) не входит, так как он меньше \( -3{,}5\pi \).

Ответ для пункта б): \( -\frac{13\pi}{4}; -3\pi; -2\pi \)