#3908: Тригонометрическое уравнение из банка ФИПИ, решение ИИ

Это уравнение с «двойным дном» в дискриминанте. Главное — заметить формулу квадрата суммы, чтобы извлечь корень.

а) Решение уравнения

Используем формулу приведения \(\cos(\pi - 2x) = -\cos 2x\):
\[ 2 - 2\cos 2x + \sqrt{8}\sin x = \sqrt{6} + \sqrt{12}\sin x \]

Упростим коэффициенты: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) и \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\). Разложим \(\cos 2x\) как \(1 - 2\sin^2 x\):
\[ 2 - 2(1 - 2\sin^2 x) + 2\sqrt{2}\sin x = \sqrt{6} + 2\sqrt{3}\sin x \]
\[ 2 - 2 + 4\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x - 2\sqrt{3}\sin x - \sqrt{6} = 0 \]
\[ 4\sin^2 x + 2(\sqrt{2} - \sqrt{3})\sin x - \sqrt{6} = 0 \]

Пусть \(t = \sin x\), где \(|t| \le 1\):
\[ 4t^2 + 2(\sqrt{2} - \sqrt{3})t - \sqrt{6} = 0 \]
\[ D = [2(\sqrt{2} - \sqrt{3})]^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-\sqrt{6}) = 4(2 - 2\sqrt{6} + 3) + 16\sqrt{6} \]
\[ D = 20 - 8\sqrt{6} + 16\sqrt{6} = 20 + 8\sqrt{6} \]
Заметим, что \(20 + 8\sqrt{6} = 4(5 + 2\sqrt{6}) = 4(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2\).
Значит, \(\sqrt{D} = 2(\sqrt{2} + \sqrt{3})\).

Находим корни:

\[ t_1 = \frac{-2(\sqrt{2} - \sqrt{3}) + 2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{8} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ t_2 = \frac{-2(\sqrt{2} - \sqrt{3}) - 2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{8} = \frac{-4\sqrt{2}}{8} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]

Обратная замена:

\[ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \] \[ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m, \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi p, \quad m, p \in \mathbb{Z} \]

Ответ для пункта а): \( \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k; -\frac{\pi}{4} + 2\pi m; -\frac{3\pi}{4} + 2\pi p; \quad n, k, m, p \in \mathbb{Z} \).

б) Отбор корней на отрезке \( \left[3\pi; \frac{9\pi}{2}\right] \)

Отметим границы. \(3\pi\) — левая точка, идем против часовой через \(4\pi\) (правая) до \(4{,}5\pi\) (верхняя).

Серия \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \): В I четверти: \( 4\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{13\pi}{3} \) (или \( 4\frac{1}{3}\pi \)). Входит. Во II четверти на этом витке корня нет (больше \( 4{,}5\pi \)). Серия \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \): В III четверти: \( 4\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{13\pi}{4} \) (или \( 3{,}25\pi \)). Входит. В IV четверти: \( 4\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{15\pi}{4} \) (или \( 3{,}75\pi \)). Входит.

Ответ для пункта б): \( \frac{13\pi}{4}; \frac{15\pi}{4}; \frac{13\pi}{3} \)