#3909: Показательное уравнение из банка ФИПИ, решение ИИ

а) Решение уравнения

Приведем все степени к основанию $3$:
\[ 27^x = (3^3)^x = 3^{3x} \]
\[ 28 \cdot 3^{x+1} = 28 \cdot 3^1 \cdot 3^x = 84 \cdot 3^x \]
\[ 3^{5-x} = \frac{3^5}{3^x} = \frac{243}{3^x} \]

Уравнение принимает вид:
\[ 3^{3x} - 84 \cdot 3^x + \frac{243}{3^x} = 0 \]

Сделаем замену \( t = 3^x \), где \( t > 0 \):
\[ t^3 - 84t + \frac{243}{t} = 0 \]

Умножим на \( t \) (так как \( t \neq 0 \)):
\[ t^4 - 84t^2 + 243 = 0 \]

Пусть \( y = t^2 \) (\( y > 0 \)), тогда имеем квадратное уравнение:
\[ y^2 - 84y + 243 = 0 \]
\[ D = (-84)^2 - 4 \cdot 243 = 7056 - 972 = 6084 = 78^2 \]
\[ y_1 = \frac{84 + 78}{2} = 81, \quad y_2 = \frac{84 - 78}{2} = 3 \]

Вернемся к переменной \( t \):

\[ t^2 = 81 \implies t = 9 \] \[ t^2 = 3 \implies t = \sqrt{3} \]

Найдем \( x \):

\[ 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2 \] \[ 3^x = 3^{0{,}5} \implies x = 0{,}5 \]

Ответ для пункта а): \( 0{,}5; 2 \).

б) Отбор корней на отрезке \( [\sqrt{3}; \log_2 5] \)

Проверим корень \( x = 0{,}5 \):
Сравним \( 0{,}5 \) и \( \sqrt{3} \).
Возведем оба числа в квадрат:
\[ (0{,}5)^2 = 0{,}25 \]
\[ (\sqrt{3})^2 = 3 \]
Так как \( 0{,}25 < 3 \), то \( 0{,}5 < \sqrt{3} \).
Корень \( 0{,}5 \) не принадлежит отрезку. Проверим корень \( x = 2 \): Сравнение с левой границей:
Возведем в квадрат: \( 2^2 = 4 \) и \( (\sqrt{3})^2 = 3 \).
Так как \( 4 > 3 \), то \( 2 > \sqrt{3} \). Сравнение с правой границей:
Сравним \( 2 \) и \( \log_2 5 \).
Представим \( 2 \) как логарифм: \( 2 = \log_2 2^2 = \log_2 4 \).
Так как функция \( y = \log_2 x \) возрастает и \( 4 < 5 \), то \( \log_2 4 < \log_2 5 \).
Значит, \( 2 < \log_2 5 \).

Корень \( 2 \) принадлежит отрезку.

Ответ для пункта б): 2