#3910: Тригонометрическое уравнение из банка ФИПИ, решение ИИ

Это уравнение решается методом группировки после замены синуса через основное тригонометрическое тождество.

а) Решение уравнения

Заменим \(\sin^2 x\) на \(1 - \cos^2 x\):
\[ 2\cos^3 x + \sqrt{2}(1 - \cos^2 x) - 2\cos x = 0 \]
\[ 2\cos^3 x + \sqrt{2} - \sqrt{2}\cos^2 x - 2\cos x = 0 \]

Сгруппируем слагаемые:
\[ (2\cos^3 x - 2\cos x) - (\sqrt{2}\cos^2 x - \sqrt{2}) = 0 \]
\[ 2\cos x (\cos^2 x - 1) - \sqrt{2}(\cos^2 x - 1) = 0 \]
\[ (\cos^2 x - 1)(2\cos x - \sqrt{2}) = 0 \]

Разложим первую скобку как разность квадратов:
\[ (\cos x - 1)(\cos x + 1)(2\cos x - \sqrt{2}) = 0 \]

Получаем три случая:

\[ \cos x = 1 \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] \[ \cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \]
(Эти две серии можно объединить в одну: \( x = \pi n, n \in \mathbb{Z} \)) \[ 2\cos x = \sqrt{2} \implies \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} \]

Ответ для пункта а): \( \pi n; \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi m, \quad n, m \in \mathbb{Z} \).

б) Отбор корней на отрезке \( \left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right] \)

Отметим границы отрезка на окружности. Точка \(2{,}5\pi\) (или \(\frac{5\pi}{2}\)) находится вверху. Идем против часовой стрелки до точки \(4\pi\) (крайняя правая). Дуга охватывает II, III и IV четверти.

Серия \( x = \pi n \): При \( n = 3 \): \( x = 3\pi \). Входит. При \( n = 4 \): \( x = 4\pi \). Входит (граница). Серия \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \): В IV четверти: \( x = 4\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{15\pi}{4} \) (или \( 3{,}75\pi \)). Входит. В I четверти на этом витке корень \( 2\pi + \frac{\pi}{4} = 2{,}25\pi \) не входит, так как меньше \( 2{,}5\pi \).

Ответ для пункта б): \( 3\pi; \frac{15\pi}{4}; 4\pi \)