#3956: Планиметрия 17 из нового банка ФИПИ

Условие

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁.
б) Вычислите длину стороны ВС и радиус данной окружности, если ∠А=135°, В₁С₁=10 и площадь треугольника АВ₁С₁ в семь раз меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

а) Доказательство
Заметим, что \(\angle AB_1C_1 + \angle C_1B_1C = 180^\circ\) как смежные углы.
Четырёхугольник \(BCB_1C_1\) вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна \(180^\circ\):
\[\angle C_1BC + \angle C_1B_1C = 180^\circ\]

Из этих двух равенств следует, что:
\[\angle AB_1C_1 = \angle C_1BC = \angle ABC\]

Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(AB_1C_1\) подобны по двум углам (\(\angle A\) — общий, \(\angle AB_1C_1 = \angle ABC\)). Что и требовалось доказать.

---

б) Решение
1. Площадь треугольника \(AB_1C_1\) в семь раз меньше площади четырёхугольника \(BCB_1C_1\), поэтому площадь треугольника \(ABC\) в восемь раз больше площади треугольника \(AB_1C_1\):
\[S_{ABC} = S_{AB_1C_1} + S_{BCB_1C_1} = S_{AB_1C_1} + 7S_{AB_1C_1} = 8S_{AB_1C_1}\]

Коэффициент подобия этих треугольников равен:
\[k = \sqrt{\frac{S_{ABC}}{S_{AB_1C_1}}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\]

2. Пусть сторона \(AB_1 = x\). Тогда из подобия треугольников сторона \(AB = k \cdot AB_1 = 2\sqrt{2}x\).
Найдём сторону \(BB_1\) по теореме косинусов из треугольника \(ABB_1\):
\[BB_1^2 = AB^2 + AB_1^2 - 2 \cdot AB \cdot AB_1 \cdot \cos 135^\circ\]
\[BB_1^2 = (2\sqrt{2}x)^2 + x^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2}x \cdot x \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\]
\[BB_1^2 = 8x^2 + x^2 + 4x^2 = 13x^2 \implies BB_1 = x\sqrt{13}\]

3. По теореме синусов из треугольника \(ABB_1\) получаем:
\[\frac{AB}{\sin \angle AB_1B} = \frac{BB_1}{\sin \angle A} \implies \sin \angle AB_1B = \frac{AB}{BB_1} \cdot \sin \angle A\]

Поскольку синусы смежных углов равны, \(\sin \angle AB_1B = \sin \angle BB_1C\). Получаем:
\[\sin \angle BB_1C = \frac{2\sqrt{2}x}{x\sqrt{13}} \cdot \sin 135^\circ = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{\sqrt{13}}\]

4. Из подобия треугольников найдём сторону \(BC\):
\[\frac{BC}{B_1C_1} = k \implies BC = 10 \cdot 2\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\]

5. Находим радиус окружности, описанной около треугольника \(BCB_1\) (она же описана около четырёхугольника \(BCB_1C_1\)):
\[2R = \frac{BC}{\sin \angle BB_1C} = \frac{20\sqrt{2}}{\frac{2}{\sqrt{13}}} = 10\sqrt{26} \implies R = 5\sqrt{26}\]

Ответ: \(5\sqrt{26}\)