#3957: Планиметрия из открытого банка ФИПИ ЕГЭ

Условие

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁.
б) Вычислите длину стороны В₁С₁ и радиус данной окружности, если ∠А=150°, ВС=5√5 и площадь треугольника АВ₁С₁ в четыре раза меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

а) Доказательство
Заметим, что \(\angle AB_1C_1 + \angle C_1B_1C = 180^\circ\) как смежные углы.
Четырёхугольник \(BCB_1C_1\) вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна \(180^\circ\):
\[\angle C_1BC + \angle C_1B_1C = 180^\circ\]

Из этих двух равенств следует, что:
\[\angle AB_1C_1 = \angle C_1BC = \angle ABC\]

Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(AB_1C_1\) подобны по двум углам (\(\angle A\) — общий, \(\angle AB_1C_1 = \angle ABC\)). Что и требовалось доказать.

---

б) Решение
1. Площадь треугольника \(AB_1C_1\) в четыре раза меньше площади четырёхугольника \(BCB_1C_1\), поэтому площадь треугольника \(ABC\) в пять раз больше площади треугольника \(AB_1C_1\):
\[S_{ABC} = S_{AB_1C_1} + S_{BCB_1C_1} = S_{AB_1C_1} + 4S_{AB_1C_1} = 5S_{AB_1C_1}\]

Коэффициент подобия этих треугольников равен:
\[k = \sqrt{\frac{S_{ABC}}{S_{AB_1C_1}}} = \sqrt{5}\]

2. Из подобия треугольников найдем длину стороны \(B_1C_1\):
\[\frac{BC}{B_1C_1} = k \implies B_1C_1 = \frac{BC}{k} = \frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 5\]

3. Пусть сторона \(AB_1 = x\). Тогда из подобия треугольников сторона \(AB = k \cdot AB_1 = \sqrt{5}x\).
Найдём сторону \(BB_1\) по теореме косинусов из треугольника \(ABB_1\):
\[BB_1^2 = AB^2 + AB_1^2 - 2 \cdot AB \cdot AB_1 \cdot \cos 150^\circ\]
\[BB_1^2 = (\sqrt{5}x)^2 + x^2 - 2 \cdot \sqrt{5}x \cdot x \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]
\[BB_1^2 = 5x^2 + x^2 + x^2\sqrt{15} = x^2(6 + \sqrt{15}) \implies BB_1 = x\sqrt{6 + \sqrt{15}}\]

4. По теореме синусов из треугольника \(ABB_1\) получаем:
\[\frac{AB}{\sin \angle AB_1B} = \frac{BB_1}{\sin \angle A} \implies \sin \angle AB_1B = \frac{AB}{BB_1} \cdot \sin \angle A\]

Поскольку синусы смежных углов равны, \(\sin \angle AB_1B = \sin \angle BB_1C\). Получаем:
\[\sin \angle BB_1C = \frac{\sqrt{5}x}{x\sqrt{6 + \sqrt{15}}} \cdot \sin 150^\circ = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6 + \sqrt{15}}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{6 + \sqrt{15}}}\]

5. Находим радиус окружности, описанной около треугольника \(BCB_1\) (она же описана около четырёхугольника \(BCB_1C_1\)):
\[2R = \frac{BC}{\sin \angle BB_1C} = \frac{5\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{6 + \sqrt{15}}}} = 10\sqrt{6 + \sqrt{15}} \implies R = 5\sqrt{6 + \sqrt{15}}\]

Ответ: \(B_1C_1 = 5\); \(R = 5\sqrt{6 + \sqrt{15}}\)