#3958: Планиметрия 17 из нового банка ФИПИ ЕГЭ

Условие

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С₁ и В₁ соответственно.
а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ₁С₁.
б) Вычислите длину стороны В₁С₁ и радиус данной окружности, если ∠А=120°, ВС=10√7 и площадь треугольника АВ₁С₁ в три раза меньше площади четырёхугольника ВСВ₁С₁.

а) Доказательство
Заметим, что \(\angle AB_1C_1 + \angle C_1B_1C = 180^\circ\) как смежные углы. Четырёхугольник \(BCB_1C_1\) вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов равна \(180^\circ\): \[\angle C_1BC + \angle C_1B_1C = 180^\circ\] Из этих двух равенств следует, что: \[\angle AB_1C_1 = \angle C_1BC = \angle ABC\] Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(AB_1C_1\) подобны по двум углам (\(\angle A\) — общий, \(\angle AB_1C_1 = \angle ABC\)). Что и требовалось доказать.

б) Решение
1. Площадь треугольника \(AB_1C_1\) в три раза меньше площади четырёхугольника \(BCB_1C_1\), поэтому площадь треугольника \(ABC\) в четыре раза больше площади треугольника \(AB_1C_1\): \[S_{ABC} = S_{AB_1C_1} + S_{BCB_1C_1} = S_{AB_1C_1} + 3S_{AB_1C_1} = 4S_{AB_1C_1}\] Коэффициент подобия этих треугольников равен: \[k = \sqrt{\frac{S_{ABC}}{S_{AB_1C_1}}} = \sqrt{4} = 2\]

2. Из подобия треугольников найдем длину стороны \(B_1C_1\): \[\frac{BC}{B_1C_1} = k \implies B_1C_1 = \frac{BC}{k} = \frac{10\sqrt{7}}{2} = 5\sqrt{7}\]

3. Пусть сторона \(AB_1 = x\). Тогда из подобия треугольников сторона \(AB = k \cdot AB_1 = 2x\). Найдём сторону \(BB_1\) по теореме косинусов из треугольника \(ABB_1\): \[BB_1^2 = AB^2 + AB_1^2 - 2 \cdot AB \cdot AB_1 \cdot \cos 120^\circ\] \[BB_1^2 = (2x)^2 + x^2 - 2 \cdot 2x \cdot x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\] \[BB_1^2 = 4x^2 + x^2 + 2x^2 = 7x^2 \implies BB_1 = x\sqrt{7}\]

4. По теореме синусов из треугольника \(ABB_1\) получаем: \[\frac{AB}{\sin \angle AB_1B} = \frac{BB_1}{\sin \angle A} \implies \sin \angle AB_1B = \frac{AB}{BB_1} \cdot \sin \angle A\] Поскольку синусы смежных углов равны, \(\sin \angle AB_1B = \sin \angle BB_1C\). Получаем: \[\sin \angle BB_1C = \frac{2x}{x\sqrt{7}} \cdot \sin 120^\circ = \frac{2}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}\]

5. Находим радиус окружности, описанной около треугольника \(BCB_1\) (она же описана около четырёхугольника \(BCB_1C_1\)): \[2R = \frac{BC}{\sin \angle BB_1C} = \frac{10\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}} = \frac{10\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{70}{\sqrt{3}} \implies R = \frac{35}{\sqrt{3}} = \frac{35\sqrt{3}}{3}\]

Ответ: \(B_1C_1 = 5\sqrt{7}\); \(R = \frac{35\sqrt{3}}{3}\)