Окружность прохожит через вершины A, B и C переллелограмма ABCD, пересекает продолжение стороны AD за точку D в точке E и пересекает продолжение стороны CD за точку D в точке K.
а) Докажите, что BK=BE.
б) Найдите отношение KE:AC, если ∠BAD=30°.
Дмитрий
Стаж: 6 лет 7 месяцев
Баллы: 8639 (Гроссмейстер)
#3960: Планиметрия 17 из открытого банка ФИПИ
Условие
а) Доказательство
1. Рассмотрим вписанные углы в данной окружности. Угол \(\angle BAE\) (он же \(\angle BAD\)) опирается на дугу \(BCE\). Угол \(\angle BCK\) (он же \(\angle BCD\)) опирается на дугу \(BAK\).
2. По свойствам параллелограмма \(ABCD\), его противоположные углы равны: \[\angle BAE = \angle BCK\]
3. Так как равные вписанные углы опираются на равные дуги окружности, дуги \(BCE\) и \(BAK\) равны.
4. Вычтем из обеих равных дуг общую дугу \(ABC\): \[\cup BCE - \cup ABC = \cup BAK - \cup ABC \implies \cup CE = \cup AK\]
5. Прибавим к обеим частям равенства дугу \(BC\): \[\cup CE + \cup BC = \cup AK + \cup BC \implies \cup BCE = \cup ABK\]
6. Равные дуги стягиваются равными хордами. Следовательно, хорды, соединяющие концы этих дуг, равны: \[BK = BE\] Что и требовалось доказать.
б) Решение
1. Пусть \(R\) — радиус описанной окружности. По теореме синусов для треугольника \(ABC\), длина его диагонали \(AC\) равна: \[AC = 2R \cdot \sin \angle ABC\]
Поскольку \(\angle BAD = 30^\circ\), смежный с ним угол параллелограмма \(\angle ABC = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ\). Тогда: \[AC = 2R \cdot \sin 150^\circ = 2R \cdot \frac{1}{2} = R\]
2. Четырёхугольник \(ABCE\) является вписанным в окружность. Сумма его противоположных углов равна \(180^\circ\): \[\angle AEC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\]
Вписанный угол \(\angle AEC\) опирается на дугу \(AKC\), значит, \(\cup AKC = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\).
3. Четырёхугольник \(AKCB\) также является вписанным в окружность, поэтому: \[\angle AKC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\]
Вписанный угол \(\angle AKC\) опирается на дугу \(AEC\), значит, \(\cup AEC = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\).
4. Полная окружность составляет \(360^\circ\). Градусная мера дуги \(KBE\) равна: \[\cup KBE = 360^\circ - \cup AKC - \cup AEC = 360^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 240^\circ\]
Тогда оставшаяся меньшая дуга \(\cup KE\) равна: \[\cup KE = 360^\circ - \cup KBE = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ\]
5. Длина хорды \(KE\) находится по теореме синусов для вписанного угла, опирающегося на эту дугу (например, угла, равного \(\frac{120^\circ}{2} = 60^\circ\)): \[KE = 2R \cdot \sin\left(\frac{\cup KE}{2}\right) = 2R \cdot \sin 60^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}\]
6. Найдём искомое отношение \(KE : AC\): \[\frac{KE}{AC} = \frac{R\sqrt{3}}{R} = \sqrt{3}\]
Ответ: \(\sqrt{3}\) (или \(\sqrt{3} : 1\))