#4105: Показательное неравенство методом замены

Шаг 1: Замена переменной
Пусть \(2^x = t\), где \(t > 0\). Тогда \(4^x = (2^x)^2 = t^2\).

Перепишем исходное неравенство с новой переменной:
\(\frac{t}{t-4}+\frac{t+2}{t-2}+\frac{10}{t^{2}-6t+8}\leqslant 0\)

Шаг 2: Разложение на множители и приведение к общему знаменателю
Разложим квадратный трехчлен в знаменателе третьей дроби:
\(t^{2}-6t+8=(t-4)(t-2)\)

Общим знаменателем для всех дробей является \((t-4)(t-2)\). Приведем дроби к общему знаменателю:
\(\frac{t(t-2)+(t+2)(t-4)+10}{(t-4)(t-2)}\leqslant 0\)

Шаг 3: Упрощение числителя
Раскроем скобки в числителе:

\(t(t-2) = t^2 - 2t\) \((t+2)(t-4) = t^2 - 4t + 2t - 8 = t^2 - 2t - 8\)

Сложим все слагаемые в числителе:
\((t^{2}-2t)+(t^{2}-2t-8)+10=2t^{2}-4t+2\)

Вынесем общий множитель \(2\) и заметим формулу полного квадрата:
\(2(t^{2}-2t+1)=2(t-1)^{2}\)

Получаем упрощенное неравенство:
\(\frac{2(t-1)^{2}}{(t-4)(t-2)}\leqslant 0\)

Шаг 4: Решение неравенства методом интервалов
Выражение \((t-1)^2\) всегда неотрицательно (\(\geqslant 0\)). Значит, знак всей дроби зависит только от знаменателя, при условии, что числитель может быть равен нулю.

Неравенство выполняется в двух случаях:

Числитель равен нулю: \((t-1)^2 = 0 \implies \mathbf{t = 1}\) (при этом знаменатель не равен нулю: \((1-4)(1-2) = 3 \neq 0\)). Дробь строго меньше нуля: так как числитель положителен (при \(t \neq 1\)), знаменатель должен быть отрицательным:
\((t-4)(t-2)<0\implies \mathbf{2<t<4}\)

Объединяя эти случаи, получаем: \(t = 1\) или \(2 < t < 4\).

Шаг 5: Обратная замена
Возвращаемся к переменной \(x\):

\(2^x = 1 \implies \mathbf{x = 0}\) \(2 < 2^x < 4 \implies 2^1 < 2^x < 2^2 \implies \mathbf{1 < x < 2}\)

Ответ: \(x \in \{0\} \cup (1; 2)\)