#4106: Показательное неравенство методом замены

Условие

Решите неравенство \(\dfrac{3^x}{3^x-9}+\dfrac{3^x+8}{3^x-3}+\dfrac{74}{9^x-12\cdot3^x+27}\leqslant 0\)

Шаг 1: Замена переменной

Пусть \(3^x = t\), где \(t > 0\). Тогда \(9^x = (3^x)^2 = t^2\).

Перепишем неравенство:
\(\frac{t}{t-9}+\frac{t+8}{t-3}+\frac{74}{t^{2}-12t+27}\leqslant 0\)

Шаг 2: Разложение на множители и приведение к общему знаменателю
Разложим знаменатель третьей дроби на множители (по теореме Виета корни равны \(3\) и \(9\)):
\(t^{2}-12t+27=(t-9)(t-3)\)

Общим знаменателем является \((t-9)(t-3)\). Приведем дроби к общему знаменателю:
\(\frac{t(t-3)+(t+8)(t-9)+74}{(t-9)(t-3)}\leqslant 0\)

Шаг 3: Упрощение числителя
Раскроем скобки в числителе:

\(t(t-3) = t^2 - 3t\) \((t+8)(t-9) = t^2 - 9t + 8t - 72 = t^2 - t - 72\)

Сложим все слагаемые числителя:
\((t^{2}-3t)+(t^{2}-t-72)+74=2t^{2}-4t+2\)

Вынесем общую двойку и соберем полный квадрат:
\(2(t^{2}-2t+1)=2(t-1)^{2}\)

Получаем неравенство:
\(\frac{2(t-1)^{2}}{(t-9)(t-3)}\leqslant 0\)

Шаг 4: Метод интервалов
Выражение в числителе \((t-1)^2\) всегда больше или равно нулю. Знак дроби определяется только знаменателем, если числитель не равен нулю.

Неравенство имеет силу в двух случаях:

Числитель равен нулю: \((t-1)^2 = 0 \implies \mathbf{t = 1}\) (знаменатель при этом в нуль не обращается). Дробь строго меньше нуля: числитель положителен, значит, знаменатель должен быть отрицательным:
\((t-9)(t-3)<0\implies \mathbf{3<t<9}\)

Шаг 5: Обратная замена
Возвращаемся к \(3^{x}\):

\(3^x = 1 \implies \mathbf{x = 0}\) \(3 < 3^x < 9 \implies 3^1 < 3^x < 3^2 \implies \mathbf{1 < x < 2}\)

Ответ: \(x \in \{0\} \cup (1; 2)\)